Zastanówmy się, ile jest równa suma miar wszystkich kątów wielokąta. Wystarczy odpowiednio dzielić każdy wielokąt na trójkąty, prowadząc przekątne z jednego, wybranego wierzchołka. 

Każdy trójkąt ma sumę miar równą 180 stopni i to jest kluczem. 

 

 

wielokąt	rysunek	ilość boków	ilość trójkątów,  na jakie podzielono wielokąt	suma miar kątów  wielokąta  (ilość trójkątów pomnożona przez 180°, czyli sumę miar kątów w każdym trójkącie)
czworokąt		$4$	$2=4-2$	$2\cdot {180}^o=$   $=\left(4-2\right)\cdot {180}^o$
pięciokąt		$5$	$3=5-2$	$3\cdot {180}^o=$   $=\left(5-2\right)\cdot {180}^o$
sześciokąt		$6$	$4=6-2$	$4\cdot {180}^o=$   $=\left(6-2\right)\cdot {180}^o$
n-kąt		$n$	$n-2$	$\left(n-2\right)\cdot {180}^o$

 

 

Suma miar kątów w każdym wielokącie mającym n boków dana jest wzorem: 

$\underline{\underline{\left(n-2\right)\cdot {180}^o}}$  

 

$a)$  

Suma miar jest równa 720 stopni, czyli możemy zapisać: 

$\left(n-2\right)\cdot {180}^o={720}^o$  

$\left(n-2\right)\cdot 180=720\mid :180$  

$n-2=4\mid +2$  

$n=6$  

 

Ten wielokąt ma 6 boków. 

 

 

$b)$  

Wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta foremnego mają jednakową miarę, w n-kącie foremnym tych kątów jest n. 

Każdy z n kątów wewnętrznych ma 120 stopni, a wszystkie kąty razem mają tyle, ile podaje podkreślony wzór, czyli:

${120}^o\cdot n=\left(n-2\right)\cdot {180}^o$  

$120n=\left(n-2\right)\cdot 180\mid :60$  

$2n=\left(n-2\right)\cdot 3$  

$2n=3n-6\mid +6$  

$2n+6=3n\mid -2n$  

$n=6$  

 

Ten wielokąt ma 6 boków.