k, n - szukane liczby naturalne

$k^2-n^2=20$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$\left(k-n\right)\cdot \left(k+n\right)=20$

Oba czynniki po lewej stronie muszą być liczbami naturalnymi ( jeśli k i n -szukane liczby- są naturalne, to: ich  suma to liczba naturalna, różnica również, ponieważ iloczyn tych dwóch czynników jest dodatni) musimy znaleźć więc pary liczb k-n i k+n, których iloczyn wynosi 20, są to:

1 i 20

2 i 10

4 i 5

Sprawdzamy kolejne pary liczb  (musimy otrzymać w rozwiązaniu 2 liczby naturalne). Wiadomo również, że każda para liczb ma jedno możliwe rozwiązanie-różnica liczb naturalnych jest mniejsza niż suma, zatem tak też przyrównujemy czynniki: różnicą liczb k i n jest mniejszy czynnik, a sumą większy czynnik.

$\{\begin{array}{l}k-n=1\\ k+n=20\end{array}$

$\{\begin{array}{l}k=1+n\\ k+n=20\end{array}$

$\{\begin{array}{l}1+n=k\\ k+n=20\end{array}$

Rozwiązujemy równanie metodą przeciwnych współczynników- dodajemy równania stronami:

$1+n+\sout{k}+n=\sout{k}+20$