Naszym zadaniem  jest obliczenie pola powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego. Na to pole powierzchni bocznej składają się 3 jednakowe ściany - każda z nich jest trójkątem równoramiennym, podstawą takiego trójkąta jest krawędź podstawy ostrosłupa. 

 

Kat SAO ma miarę 60°, kąt AOS jest kątem prostym, więc kąt ASO musi mieć miarę 30° (ponieważ suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°, 180°-60°-90°=30°). 

Zatem trójkąt AOS to połowa trójkąta równobocznego. Znamy długość odcinka OS - jest to wysokość ostrosłupa. 

Zapiszmy dane na rysunku:

 

Odcinek AO to połowa podstawy trójkąta równobocznego, odcinek AS to podstawa tego trójkąta. Oznaczmy:

$\left|AS\right|=a,\left|AO\right|=\frac{1}{2}a$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AOS możemy zapisać: 

${\left|AO\right|}^2+{\left|OS\right|}^2={\left|AS\right|}^2$

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+{\left(10\sqrt{3}\right)}^2=a^2$

$\frac{1}{4}{a}^2+100\cdot 3=a^2\mid -\frac{1}{4}{a}^2$

$300=\frac{3}{4}{a}^2\mid \cdot \frac{4}{3}$

$a^2=400$

$a=20$

$\left|AS\right|=20dm,\left|AO\right|=\frac{1}{2}\cdot 20=10dm$

 

Odcinek AD to wysokość trójkąta równobocznego ABC (ten trójkąt to podstawa ostrosłupa prawidłowego trójkątnego). Punkt O to punkt przecięcia wysokości trójkąta ABC. Punkt O dzieli każdą z wysokosci w stosunku 2:1, co oznacza, że odcinek AO stanowi dwie trzecie wysokości, odcinek OD stanowi jedną trzecią wysokości. 

$\left|AO\right|=10dm=\frac{2}{3}h$

$\left|OD\right|=\frac{1}{3}h=\frac{2}{3}h:2=10dm:2=5dm$

 

Znamy długości boków OS oraz OD w trójkącie prosokątnym SOD. Możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa:

${\left|SO\right|}^2+{\left|OD\right|}^2={\left|DS\right|}^2$

${\left(10\sqrt{3}\right)}^2+5^2={\left|DS\right|}^2$

$100\cdot 3+25={\left|DS\right|}^2$

${\left|DS\right|}^2=325$

$\left|DS\right|=\sqrt{325}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{13}=5\sqrt{13}dm$

Odcinek DS jest wysokością ściany bocznej. Odcinek AS jest krawędzią boczną ostrosłupa, czyli zarazem ramieniem trójkąta równoramiennego, który jest ścianą boczną. 

Każda z trzech ścian bocznych wygląda następująco: 

  

Przez x oznaczliśmy połowę podstawy. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

${\left(5\sqrt{13}\right)}^2+x^2={20}^2$

$25\cdot 13+x^2=400$

$325+x^2=400\mid -325$

$x^2=75$

$x=\sqrt{75}=\sqrt{25}\cdot 3=5\sqrt{3}dm$

Cała podstawa ma więc długość:

$2\cdot 5\sqrt{3}dm=10\sqrt{3}dm$

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej (pole trzech trójkątów takich jak powyżej):

$P_b=3\cdot \frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{10}}^5\sqrt{3}dm\cdot 5\sqrt{13}dm=75\sqrt{39}d{m}^2$