Matematyka

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa 4.7 gwiazdek na podstawie 10 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

9
 Zadanie
10
 Zadanie
11
 Zadanie
12
 Zadanie
13
 Zadanie
14
 Zadanie

15
 Zadanie

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku 3 cm. Obliczamy pole podstawy kwadratu: 

Wprowadźmy oznaczenia pomocnicze: 

Po sklejeniu siatki, odcinki EA i HA skleją się ze sobą, a wierzchołku A "spotkają się" dwa kąty proste, co oznacza, że odcinek powstały ze sklejenia krawędzi EA i HA będzie wysokością ostrosłupa - wysokość ma 4 cm. 

Obliczamy objętość ostrosłupa: 

 

 

Do obliczenia pola powierzchni całkowitej jest potrzebne pole powierzchni bocznej. Ściany boczne EAB oraz ADH to trójkąty prostokątne o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm. Ściana DCG to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 5 cm. Ściana BCF to trójkąt prostokątny o przyprostokątnej 3 cm oraz |BF|. Długość odcinka BF jest taka sama, jak długość odcinka EB (te odcinki "skleją się" ze sobą po złożeniu siatki). 

Obliczmy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąt EAB, jaką długość ma odcinek EB:

 

Zatem trójkąt BCF to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 5 cm. 

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłua: 

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

 

 

Musimy jeszcze wyznaczyć dla każdej ściany długość wysokości opuszczonej do przeciwprostokątnej, czyli długości odcinków AI, BJ, DK, AL. 

Trójkąty EAB i ADH (mają jednakowe długości boków) były przystające, więc odcinki AI oraz AL mają jednakową długość, oznaczmy jako x. 

Podobnie trójkąty BCF i DCG (mają jednakowe długości boków) były przystające, więc odcinki BJ i DK mają jednakową długość, oznaczmy jako y. 

Zanim przejdziemy dalej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów BCF i DCG obliczmy, jaką długość mają odcinki FC i CG. 

 

Pole trójkąta prostokątnego możemy obliczać, jako połowę iloczynu długości przyprostokątnych lub jako połowę iloczynu długości przeciwprostokątnej i długości wysokości opuszczonej na tą przeciwprostokątną:

 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów BCF i DCG obliczmy, jaką długość mają odcinki FC i CG. 

 

 

DYSKUSJA
klasa:
Informacje
Autorzy: Dubiecka-Kruk Barbara, Dubiecka Anna, Bazyluk Anna
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Dodawanie i odejmowanie

Działania arytmetyczne to dwuargumentowe działania, które dwóm danym liczbom przyporządkowują trzecią liczbę, czyli tzw. wynik działania. Zaliczamy do nich dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

  1. Dodawanie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b, liczbę c = a + b. Wynik dodawania nazywany jest sumą, a dodawane składnikami sumy.
     

    dodawanie liczb


    Składniki podczas dodawania można zamieniać miejscami, dlatego mówimy, że jest ono przemienne. Niekiedy łatwiej jest dodać dwa składniki, gdy skorzystamy z tej własności.
    Przykład: $$7 + 19 = 19 +7$$.

    Kiedy jednym ze składników sumy jest inna suma np. (4+8), to możemy zmienić położenie nawiasów (a nawet je pominąć), na przykład $$12 + (4 + 8) = (12 + 8) + 4 = 12 + 8 + 4$$
    Mówimy, że dodawanie jest łączne.

    Poniżej przedstawiamy przykład, gdy warto skorzystać z praw łączności i przemienności:
    $$12 + 3 + 11 + (7 + 8) + 9 = 12 + 8 +3 +7 + 11 + 9 = 20 + 10 + 20 = 50$$
     

  2. Odejmowanie
    Odjąć liczbę b od liczby a, tzn. znaleźć taką liczbę c, że a = b+ c.
    Przykład $$23 - 8 = 15$$, bo $$8 + 15 = 23$$.

    Odejmowane obiekty nazywane są odpowiednio odjemną i odjemnikiem, a wynik odejmowania różnicą.

    odejmowanie liczb

    Odejmowanie w przeciwieństwie do dodawania nie jest ani łączne, ani przemienne.
    np. $$15 - 7 ≠ 7 - 15$$ (gdzie symbol ≠ oznacza "nie równa się").
 
Największy wspólny dzielnik (NWD)

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb naturalnych jest to największa liczba naturalna, która jest dzielnikiem każdej z tych liczb.

Przykłady:

  • Największy wspólny dzielnik liczb 6 i 9 to liczba 3.

    1. Wypiszmy dzielniki liczby 6: 1, 2, 3, 6.
    2. Wypiszmy dzielniki liczby 9: 1, 3, 9.
    3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 6 i 9. Jest to 3.

  • Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 20 to liczba 4.

    1. Wypiszmy dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
    2. Wypiszmy dzielniki liczby 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
    3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 12 i 20. Jest to 4.


Największy wspólny dzielnik 
dwóch liczb można znaleźć także wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze. 

Aby znaleźć NWD dwóch liczb należy: 

  1. Rozłożyć liczby na czynniki pierwsze. 

  2. Zaznaczyć wspólne dzielniki obu liczb. 

  3. Obliczyć iloczyn wspólnych czynników (zaznaczonych czynników).  

Przykład:

Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom