II gimnazjum

Matematyka 2001

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku 6 cm:  Pp​=6 cm⋅6 cm=36 cm2

Czworościan foremny to ostrosłup trójkątny, który ma wszystkie ściany w kształcie jednakowych trójkątów równobocznych.  Mamy wzór na pole trójkąta równobocznego o boku a: PΔ​=4a23<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Obliczamy pole podstawy, czyli pole kwadratu o boku 10 cm:  Pp​=10 cm⋅10 cm=100 cm2

Na pole sześciokąta foremnego o boku 10 cm składa się pole 6 trójkątów równobocznych o boku 10 cm. Obliczamy więc pole podstawy:  Pp​=63⋅42(10 cm)23<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​=3⋅21003<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​ cm2=3⋅503<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ cm2=1503<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ cm2

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Taki ostrosłup ma 4 jednakowe ściany boczne - każda z tych ścian jest trójkątem równoramiennym. Obliczmy, ile byłoby równe pole jednej ściany: 144 cm2:4=4144​ cm2=272​ cm2=36 cm2

Jeśli od pola powierzchni całkowitej odejmiemy pole powierzchni bocznej, to otrzymamy pole podstawy ostrosłupa:  Pp​=360 cm2−260 cm2=100 cm2

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku 3 cm. Obliczamy pole podstawy kwadratu:  Pp​=3 cm⋅3 cm=9 cm2 Wprowadźmy oznaczenia pomocnicze:  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/45632/9lx934C31zVfpJQWYwzZQg%3D%3D_81478e9bb7d01ba5a58566437bc922fc49df3903c43470a422fc9f9eba943325.jpg"> Po sklejeniu siatki, odcinki EA i HA skleją się ze sobą, a wierzchołku A "spotkają się" dwa kąty proste, co oznacza, że odcinek powstały ze sklejenia krawędzi EA i HA będzie wysokością ostrosłupa - wysokość ma 4 cm.  Obliczamy objętość ostrosłupa:  V=311​⋅93 cm2⋅4 cm=12 cm3​​     Do obliczenia pola powierzchni całkowitej jest potrzebne pole powierzchni bocznej. Ściany boczne EAB oraz ADH to trójkąty prostokątne o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm. Ściana DCG to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 5 cm. Ściana BCF to trójkąt prostokątny o przyprostokątnej 3 cm oraz |BF|. Długość odcinka BF jest taka sama, jak długość odcinka EB (te odcinki "skleją się" ze sobą po złożeniu siatki).  Obliczmy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąt EAB, jaką długość ma odcinek EB: 32+42=∣EB∣2 9+16=∣EB∣2 ∣EB∣2=25

Komentarze