Zagadnienia z tego działu pojawiają się praktycznie na każdej maturze, o sprawdzianie z trygonometrii nie wspominając. Jest to wbrew pozorom bardzo prosty i schematyczny dział, a z racji, że jest wysoko punktowany dobrze by było go znać. Zacznijmy:

Potrzebne wzory:

Tutaj potrzebujemy podstawowych operacji arytmetycznych (działania na ułamkach oraz potęgach) oraz dosłownie trzech wzorów:

$ sin^2 α+cos^2 α=1 $
$ g α={sin α}/{cos α} $
$ ctg α={cos α}/{sin α} $

Celem naszego zadania jest znalezienie pozostałych funkcji trygonometrycznych mając tylko jedną, gdzie na poziomie podstawowym mamy zawsze tylko $sin$ lub $cos$.

Przykład:

Wiedząc, że $sin α=2/5$ oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. Również tutaj będziemy stosować listę kroków:

„Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa

Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

$sin^2 α+cos^2 α=1$

Podstawiamy naszego znanego sinusa:

$(2/5)^2+cos^2 α=1$

Podnosimy do potęgi:

$4/{25}+cos^2 α=1$

i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:

$cos^2 α=1-4/{25}$

Ostatecznie:

$cos^2 α={21}/{25}$

I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $cos α={√{21} }/{√{25} }$

Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:

$cos α={√{21} }/5$

Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:

$ g α={sin α}/{cos α}$

Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

$ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:

$ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$

I mnożymy przez odwrotność:

$ g α=2/5×5/{√{21} }$

piątki się skracają:

$ g α=2/1×1/{√{21} }$

$ g α=2/{√{21} }$

(Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):

$ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$

Pamiętamy, że:

${√{21} }/{√{21} }=1$

Zatem nasz ułamek to:

$ g α={2√21}/{21}$

Tangens został policzony!

Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
Krok 3: Cotangens z tangensa

Przypomnijmy dwa wzory:

$ g α={sinα}/{cosα} $

$ctg α={cos α}/{sin α} $

Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:

$ g α={2√{21} }/{21}$

$ctg α={21}/{2√{21} }$

Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:

$ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$

Zadanie zakończone.

Oblicz, jakim procentem ...

A Zadanie

Justyna

A
Zadanie