Matematyka

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony (Podręcznik, Nowa Era)

Przeczytaj informacje w ramce. 4.25 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Przeczytaj informacje w ramce.

1
 Zadanie
2
 Zadanie

3
 Zadanie

`"a)"\ x^3-6x^2+18x-18=0`

Zgodnie z informacją w ramce:

`a_2=-6`

`x=y-(a_2)/3=y-((-6)/3)=y+2`

Wykonujemy podstawienie. W miejsce x wstawiamy y+2.

`(y+2)^3-6(y+2)^2+18(y+2)-18=0`

`y^3+6y^2+12y+8-6(y^2+4y+4)+18y+36-18=0`

`y^3+strike(6y^2)+12y+8-strike(6y^2)-24y-24+18y+18=0`

`y^3+6y+2=0`

`y^3+6y=-2`

Szukamy pierwiastka równania korzystajac ze wzoru Cardano dla:

`a=6`

`b=-2`

Podstawiamy a i b do wzoru:

`y=root(3)(b/2+sqrt((b/2)^2+(a/3)^3))-root(3)(-\ b/2+sqrt((b/2)^2+(a/3)^3))`

`y=root(3)(((-2)/2)+sqrt(((-2)/2)^2+(6/3)^3))-root(3)(-((-2)/2)+sqrt(((-2)/2)^2+(6/3)^3))`

`y=root(3)(-1+sqrt(9))-root(3)(1+sqrt(9))`

`y=root(3)(-1+3)-root(3)(1+3)`

`y=root(3)(2)-root(3)(4)`

Wykonywaliśmy podstawienie, dlatego obliczony y wstawiamy do wzoru: x=y+2.

Stąd:

`x=y+2=root(3)2-root(3)4+2`

Odp: Pierwiastkiem wyjsciowego równania jest otrzymany ³√ 2-³√ 4+2.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

Równanie 1:

`x^3+3x^2+9x+9=0`

Równanie 2:

`x^3-3x^2+9x-5=0`

Chcemy uzasadnić, że istnieje taki pierwiastek x1 równania 1 oraz taki pierwiastek x2 równania 2, że x2-x1=2.

Oba równania musimy doprowadzić do postaci: x3+ax=b.

W tym celu będziemy wykonywać podstawienie x=y-a2/3.

Popatrzmy na równanie 1:

`a_2=3`

Stąd w miejsce x będziemy podstawiać:

`x=y-3/3=y-1`

`(y-1)^3+3(y-1)^2+9(y-1)+9=0`

`y^3-strike(3y^2)+3y-1+strike(3y^2)-6y+3+9y-strike(9)+strike(9)=0`

`y^3+6y+2=0`

`y^3+6y=-2`

 `ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Popatrzmy na równanie 2:

`a_2=-3`

Stąd w miejsce x będziemy podstawiać:

`x=y-(-3)/3=y+1`

`(y+1)^3-3(y+1)^2+9(y+1)-5=0`

`y^3+strike(3y^2)+3y+1-strike(3y^2)-6y-3+9y+4=0`

`y^3+6y+2=0`

`y^3+6y=-2`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Oba równania doprowadziliśmy do takiej samej postaci.

Znajdźmy rozwiązanie równania y3+6y=-2 korzystając ze wzoru Cardano.

`a=6`

`b=-2`

`y=root(3)(b/2+sqrt((b/2)^2+(a/3)^3))-root(3)(-\ b/2+sqrt((b/2)^2+(a/3)^3))`

`y=root(3)((-2)/2+sqrt(((-2)/2)^2+(6/3)^3))-root(3)(-(-2)/2+sqrt(((-2)/2)^2+(6/3)^3))`

`y=root(3)(-1+sqrt(1+8))-root(3)(1+sqrt(1+8))`

`y=root(3)(-1+3)-root(3)(1+3)`

`y=root(3)(2)-root(3)(4)`

Pamiętamy, że wykonywaliśmy podstawienia. 

Dla pierwszego równania: x=y-1. Stąd:

`x_1=root(3)2-root(3)4-1`

Dla drugiego równania: x=y+1. Stąd:

`x_2=root(3)2-root(3)4+1`

Obliczmy różnicę: x2-x1 

`x_2-x_1=(root(3)2-root(3)4+1)-(root(3)2-root(3)4-1)=root(3)2-root(3)4+1-root(3)2+root(3)4+1=2`

Uzasadniliśmy, że istanieją takie pierwiastki równania 1 oraz równania 2, że różnica x2-x1=2.

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Kąty

Kąt to część płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi o wspólnym początku, wraz z tymi półprostymi.

Półproste nazywamy ramionami kąta, a ich początek – wierzchołkiem kąta.

kat-glowne
 


Rodzaje kątów:

  1. Kąt prosty – kąt, którego ramiona są do siebie prostopadłe – jego miara stopniowa to 90°.

    kąt prosty
  2. Kąt półpełny – kąt, którego ramiona tworzą prostą – jego miara stopniowa to 180°.
     

    kąt pólpelny
     
  3. Kąt ostry – kąt mniejszy od kąta prostego – jego miara stopniowa jest mniejsza od 90°.
     

    kąt ostry
     
  4. Kąt rozwarty - kąt większy od kąta prostego i mniejszy od kąta półpełnego – jego miara stopniowa jest większa od 90o i mniejsza od 180°.

    kąt rozwarty
  5. Kąt pełny – kąt, którego ramiona pokrywają się, inaczej mówiąc jedno ramię tego kąta po wykonaniu całego obrotu dookoła punktu O pokryje się z drugim ramieniem – jego miara stopniowa to 360°.
     

    kat-pelny
     
  6. Kąt zerowy – kąt o pokrywających się ramionach i pustym wnętrzu – jego miara stopniowa to 0°.

    kat-zerowy
 
Ułamki właściwe i niewłaściwe
  1. Ułamek właściwy – ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek właściwy ma zawsze wartość mniejszą od 1.
    Przykłady: $$3/8$$, $${23}/{36}$$, $$1/4$$, $$0/5$$.
     

  2. Ułamek niewłaściwy – ułamek, którego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika. Ułamek niewłaściwy ma zawsze wartość większą od 1.
    Przykłady: $${15}/7$$, $$3/1$$, $${129}/5$$, $${10}/5$$.
     

Zobacz także
Udostępnij zadanie