Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Rozwiąż równanie ... 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Rozwiąż równanie ...

1
 Zadanie

2
 Zadanie
3
 Zadanie

`"a)"\ x^3+x=2`

Rozwiązujemy równanie korzystając z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych.

Doprowadźmy równanie do takiej postaci, aby po prawej stronie znajdowało się 0.

`x^3+x=2`

`x^3+x-2=0`

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli -2:

`p={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x3+x-2=0.

`w(-1)=(-1)^3+(-1)-2=-1-1-2!=0`

`w(1)=1^3+1-2=1+1-2=0`

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby zanleźć kolejne pierwiastki dzielmy:

`(x^3+x-2):(x-1)=x^2+x+2`

`x^3+x-2=(x-1)*(x^2+x+2)`

Szuakmy pierwiastków równania kwadratowego:

`x^2+x+2=0`

`Delta=1^2-4*1*2<0`

Odp: Pierwiastkiem początkowego równania jest 1.

 

b) Obliczamy pierwiastek równania ze wzoru Cardano:

`x=root(3)(b/2+sqrt(((b/2)^2+(a/3)^3)))-root(3)(-\ b/2+sqrt(((b/2)^2+(a/3)^3))`

Ze wazoru tego korzystamy, gdy mamy równanie postaci:

`x^3+ax=b`

Nasze równanie ma taką postać:

`x^3+x=2`

Stąd:

`a=1`

`b=2`

Podstawiamy do wzoru:

`x=root(3)(2/2+sqrt(((2/2)^2+(1/3)^3)))-root(3)(-\ 2/2+sqrt(((2/2)^2+(1/3)^3))`

`x=root(3)(1+sqrt((1+1/27)))-root(3)(-\ 1+sqrt((1+1/27))`

`x=root(3)(1+sqrt(28/27))-root(3)(-\ 1+sqrt(28/27)`

`x=root(3)(1+sqrt(28/27))-root(3)(sqrt(28/27)-1)`

Odp: Pierwiastkiem poczatkowego równania jest liczba x.