$\text{a)}{x}^3+x=2$

Rozwiązujemy równanie korzystając z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych.

Doprowadźmy równanie do takiej postaci, aby po prawej stronie znajdowało się 0.

$x^3+x=2$

$x^3+x-2=0$

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli -2:

$p=\left\{-1,1,-2,2\right\}$

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x³+x-2=0.

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+\left(-1\right)-2=-1-1-2\ne 0$

$w\left(1\right)=1^3+1-2=1+1-2=0$

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby zanleźć kolejne pierwiastki dzielmy:

$\left(x^3+x-2\right):\left(x-1\right)=x^2+x+2$

$x^3+x-2=\left(x-1\right)\cdot \left(x^2+x+2\right)$

Szuakmy pierwiastków równania kwadratowego:

$x^2+x+2=0$

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 2<0$

Odp: Pierwiastkiem początkowego równania jest 1.

 

b) Obliczamy pierwiastek równania ze wzoru Cardano:

$x=\sqrt[3]{\frac{b}{2}+\sqrt{\left({\left(\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{3}\right)}^3\right)}}-\sqrt[3]{-\frac{b}{2}+\sqrt{\left({\left(\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{3}\right)}^3\right)}}$

Ze wazoru tego korzystamy, gdy mamy równanie postaci:

$x^3+ax=b$

Nasze równanie ma taką postać:

$x^3+x=2$

Stąd:

$a=1$

$b=2$

Podstawiamy do wzoru:

$x=\sqrt[3]{\frac{2}{2}+\sqrt{\left({\left(\frac{2}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3\right)}}-\sqrt[3]{-\frac{2}{2}+\sqrt{\left({\left(\frac{2}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3\right)}}$

$x=\sqrt[3]{1+\sqrt{\left(1+\frac{1}{27}\right)}}-\sqrt[3]{-1+\sqrt{\left(1+\frac{1}{27}\right)}}$

$x=\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{28}{27}}}-\sqrt[3]{-1+\sqrt{\frac{28}{27}}}$

$x=\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{28}{27}}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{28}{27}}-1}$

Odp: Pierwiastkiem poczatkowego równania jest liczba x.