Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Na rysunku obok przedstawiono ... 4.33 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Rysunek pomocniczy:

 

a) Chcemy obliczyć pole trójkąta ABC. Musimy znać długość jego podstawy, czyli odcinka AB oraz długość wysokości poprowadzonej na tę podstawę, czyli odcinka PC, oznaczonego literą h.

Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym, dlatego wysokość poprowadzona z wierzchołka C na podstawę AB, dzieli tę podstawę na dwie równe części. Podstawa AB ma długość wynoszącą x0. Punkt P, który jest środkiem podstawy AB, ma więc współrzędne:

`P=(1/2x_0,0)` 

Stąd wynika także, że pierwsza współrzędna punktu C to 1/2x0. Wiemy, że punkt C należy do paraboli o wzorze y=x2+1.

Aby obliczyć drugą współrzędną punktu C, w miejsce x, we wzorze na parabolę, wstawiamy 1/2x0.

`y=(1/2x_0)^2+1` 

`y=1/4x_0^2+1` 

Druga współrzędna wierzchołka C to 1/4x02+1. Współrzędne punktu C to:

`C=(1/2x_0,1/4x_0^2+1)` 

Wysokość h obliczymy odejmując współrzędne y-kowe wierzchołka C i punktu P.

`h=1/4x_0^2+1-0=1/4x_0^2+1` 

Długość wysokości h to 1/4x02+1.

Obliczmy pole trójkąta ABC.

`P_t=1/2*x_0*(1/4x_o^2+1)` 

`P_t=1/8x_0^3+1/2x_0` 

Wzór wielomianu opisującego pole trójkata ABC w zależności od xto:

`P(x_0)=1/8x_0^3+1/2x_0` 

Dziedziną tej funkcji jest x0>0.

 

 

b) Zakładamy, że pole trójkąta jest równe 10.

Podstawiamy dane do wzoru opisującego pole trójkąta w zalezności od x0.

`(1/8x_0)^3+1/2x_0=10`  

`1/8x_0^3+1/2x_0-10=0`

Szuakmy pierwiastków powyższego równania. Chcemy skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.

W tym celu współczynniki w równaniu muszą być liczbami całkowitymi.

`1/8x_0^3+1/2x_0-10=0\ \ \ \ |*8` 

`x_0^3+4x_0-80=0` 

Współczynniki są całkowite, an≠0 oraz a0≠0, więc korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -80, to:

`p={-1,\ 1,-2,\ 2,-4, 4, -5,\ 5,-8,\ 8,-10,\ 10,-16,\ 16,-20,\ 20,-40,\ 40,-80,\ 80}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 1 to:

`q={-1,1}` 

Możliwe pierwiastki to:

`(p)/(q)={-1,\ 1,-2,\ 2,-4, 4, -5,\ 5,-8,\ 8,-10,\ 10,-16,\ 16,-20,\ 20,-40,\ 40,-80,\ 80}`

Sprawdzamy, która z powyższych liczb jest pierwiastkiem wielomianu p(x)=x3+4x-80.

`p(4)=4^3+4*4-80=64+16-80=80-80=0` 

4 jest pierwiastkiem wielomianu p(x)

Wykonujemy dzielenie, aby znaleźć pozostałe pierwiastki.

`(x_0^3+4x_0-80):(x_0-4)=x_0^2+4x_0+20`  

`x_)^3+4x_0-80=(x_0+4)(x_0^2+4x_0+20)` 

Szuakamy pierwiastków równania kwadratowego.

`x_0^2+4x_0+20=0` 

`Delta=4^2-4*1*20=16-80=-64<0` 

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych. 

`ul(\ \ \ \ \ \ )` 

Jedynym rozwiązaniem równania:

`1/8x_0^3+1/2x_0-10=0` 

jest 
`x_0=4` 

Popatrzmy na rysunek poniżej. Wierzchołek B miał współrzędne (x0,0). Jeżeli x0=4, to wierzchołek B ma współrzędne (4,0).

Wierzchołek C miał współrzędne (1/2x0,1/4x02+1), po podstawieniu x0=4, otrzymujemy, że wierzchołek C ma współrzędne (2,5).

Odp: Współrzędne wierzchołka B to (4,0), współrzędne wierzchołka C to (2,5).