Matematyka

Rozwiąż równanie. 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Aby skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych, współczynniki wielomianu muszą byc liczbami całkowitymi.

Staramy się tak przekształcić podane równanie, aby otrzymać współczynniki całkowite.

`"a)"\ x^3-3/2x^2-1/2x-2=0\ \ \ \ \ |*2`

`2x^3-3x^2-x-2=0`

Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -2 to:

`p={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 2, to:

`q={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Mozliwe pierwiastki wielomianu w(x)=2x3-3x2-x-2 to:

`(p)/(q)={-2,-1,-1/2,\ 1/2,\ 1,\ 2}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(-1)=2*(-1)^3-3*(-1)^2-(-1)-2=-2-3+1-2=-6!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

  `w(1)=2*1^3-3*1^2-1-2=2-3-1-2=-4!=0`

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-1/2)=2*(-1/2)^3-3*(-1/2)^2-(-1/2)-2=-1/4-3/4+1/2-2=-2 1/2!=0`

-1/2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1/2)=2*(1/2)^3-3*(1/2)^2-(1/2)-2=1/4-3/4-1/2-2=-3!=0`

1/2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-2)=2*(-2)^3-3*(-2)^2-(-2)-2=-16-12+2-2=-28!=0`

-2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(2)=2*(2)^3-3*(2)^2-2-2=16-12-2-2=0`

2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x) wykonujemy dzielenie:

`(2x^3-3x^2-x-2):(x-2)=2x^2+x+1`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego 2x2+x+1.

`2x^2+x+1=0`

`Delta=1^2-4*2*1=2-8=-6<0`

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odp: Rozwiązaniem poczatkowego równania jest liczba -2.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ (x^3+x^2)/15=1/3x-1/5\ \ \ \ \ |*15`

`x^3+x^2=5x-3`

`x^3+x^2-5x+3=0`

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 3 to:

`p={-1,\ 1,-3,\ 3}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 2, to:

`q={-1,\ 1}`

Mozliwe pierwiastki wielomianu w(x)=x3+x2-5x+3 to:

`(p)/(q)={-3,-1,\ 1,\ 3}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(-1)=(-1)^3+(-1)^2-5*(-1)+3=-1+1+5+3=8!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

  `w(1)=1^3+1^2-5*1+3=1+1-5+3=0` 

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x) wykonujemy dzielenie:

`(x^3+x^2-5x+3):(x-1)=x^2+2x-3`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego x2+2x-3.

`x^2+2x-3=0`

`Delta=2^2-4*1*(-3)=4+12=16`

`sqrtDelta=sqrt16=4`

`x_1=(-2-4)/2=-3`

`x_2=(-2+4)/2=1`

Rozwiązaniem równania kwadratowego są liczby -3 oraz 1.

Odp: Rozwiązaniem poczatkowego równania jest liczba -3 i 1. 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ 1/4x^4+1/2x^3-1/4x^2=x+1/2\ \ \ \ \ |*4`

`x^4+2x^3-x^2=4x+2`

`x^4+2x^3-x^2-4x-2=0`

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -2 to:

`p={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 1, to:

`q={-1,\ 1}`

Mozliwe pierwiastki wielomianu w(x)=x4+2x3-x2-4x-2 to:

`(p)/(q)={-2,-1,\ 1,\ 2}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(-1)=(-1)^4+2*(-1)^3-(-1)^2-4*(-1)-2=1-2-1+4-2=0`

-1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x) wykonujemy dzielenie:

`(x^4+2x^3-x^2-4x-2):(x+1)=x^3+x^2-2x-2`

Szukamy pierwiastków równania  x3+x2-2x-2=0.

Możemy pogrupować wyrazy.

`x^3+x^2-2x-2=x^2(x+1)-2(x+1)=(x^2-2)(x+1)`

Mamy:

`(x^2-2)(x+1)=0`

`\ \ \ \ \ \ \ x^2-2=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ vv \ \ \ \ \ x+1=0`

` `

` `

`x=sqrt2\ \ vv\ \ x=-sqrt2\ \ vv\ \ x=-1`

Pierwiastkami tego równania są √2 -√2 orazx -1.

Odp: Rozwiązaniem początkowego równania są liczby -1, √2 oraz -√2.

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ 2x^4-5x^3-3x^2=(3x-9)(2x^2+x)`

`2x^4-5x^3-3x^2=6x^3+3x^2-18x^2-9x`

`2x^4-5x^3-3x^2=6x^3-15x^2-9x`

`2x^4-11x^3+12x^2+9x=0`

Wyłączamy x przed nawias.

`x(2x^3-11x^2+12x+9)=0`

`x=0\ \ \ vv\ \ \ 2x^3-11x^2+12x+9=0`

Szukamy pierwiastków równania 2x3-11x2+12x+9=0.

`2x^3-11x^2+12x+9=0`

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 9 to:

`p={-1,\ 1,-3,\ 3,-9,\ 9}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 2, to:

`q={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Mozliwe pierwiastki wielomianu w(x)=2x3-11x2+12x+9 to:

`(p)/(q)={-9,-9/2,-3,-3/2,-1,-1/2,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 3,\ 9/2,\ 9}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(-1)=2*(-1)^3-11*(-1)^2+12*(-1)+9=-2-11-12+9=-16!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=2*1^3-11*1^2+12*1+9=2-11+12+9=12!=0`

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-1/2)=2*(-1/2)^3-11*(-1/2)^2+12*(-1/2)+9=-1/4-11/4-6+9=0`

-1/2  jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x) wykonujemy dzielenie:

`(2x^3-11x^2+12x+9):(x+1/2)=2x^2-12x+18`

Szukamy pierwiastków równania  2x2-12x+18=0.

Podzielmy równanie przez 2, wówczas obliczenia będą łatwiejsza, a pierwiastki się nie zmienią.

`2x^2-12x+18=0\ \ \ \ |:2`

`x^2-6x+9=0`

`Delta=(-6)^2-4*1*9=36-36=0`

`x_1=6/2=3`

Pierwiastkiem równania jest 3.

Odp: Rozwiązaniem początkowego równania są liczby -1/2, 0 oraz 3.

DYSKUSJA
user profile image
Gość

0

2017-10-09
dzieki!
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Dzielenie ułamków dziesiętnych przez 10, 100, 1000...

Aby podzielić ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itd. należy przesunąć przecinek w lewo o tyle miejsc ile jest zer w liczbie przez którą dzielimy (czyli w 10, 100, 1000 itd.)

Przykłady:

  • $$0,34÷10= 0,034$$ ← przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo
  • $$311,25÷100= 3,1125$$ ← przesuwamy przecinek o dwa miejsca w lewo
  • $$53÷1000= 0,053$$ ← przesuwamy przecinek o trzy miejsca w lewo
Przeliczanie jednostek – centymetry na metry i kilometry

W praktyce ważna jest umiejętność przeliczania 1 cm na planie lub mapie na ilość metrów lub kilometrów w terenie.

  • 1 m = 100 cm
  • 1 cm = 0,01 m
  • 1 km = 1000 m = 100000 cm
  • 1 m = 0,001 km
  • 1 cm = 0,00001 km

Przykłady na przeliczanie skali mapy:

  • skala 1:2000 mówi nam, że 1 cm na mapie to 2000 cm w rzeczywistości, czyli 20 m policzmy: 2000 cm = 2000•0,01= 20 m
  • skala 1:30000 mówi nam, że 1 cm na mapie to 30000 cm w rzeczywistości, czyli 300 m policzmy: 30000 cm = 30000•0,01= 300 m
  • skala 1:500000 mówi nam, że 1 cm na mapie to 500000 cm w rzeczywistości, czyli 5 km policzmy: 500000 cm = 500000•0,00001= 5 km
  • skala 1:1000000 mówi nam, że 1 cm na mapie to 1000000 cm w rzeczywistości, czyli 10 km policzmy: 1000000 cm = 1000000•0,00001= 10 km
Zobacz także
Udostępnij zadanie