Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Rozwiąż równanie. 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Aby skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych, współczynniki wielomianu muszą byc liczbami całkowitymi.

Staramy się tak przekształcić podane równanie, aby otrzymać współczynniki całkowite.

`"a)"\ x^3-3/2x^2-1/2x-2=0\ \ \ \ \ |*2` 

`2x^3-3x^2-x-2=0` 

Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -2 to:

`p={-1,\ 1,-2,\ 2}` 

Dzielniki wyrazu an, czyli 2, to:

`q={-1,\ 1,-2,\ 2}` 

Mozliwe pierwiastki wielomianu w(x)=2x3-3x2-x-2 to:

`(p)/(q)={-2,-1,-1/2,\ 1/2,\ 1,\ 2}` 

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(-1)=2*(-1)^3-3*(-1)^2-(-1)-2=-2-3+1-2=-6!=0` 

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

  `w(1)=2*1^3-3*1^2-1-2=2-3-1-2=-4!=0`

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-1/2)=2*(-1/2)^3-3*(-1/2)^2-(-1/2)-2=-1/4-3/4+1/2-2=-2 1/2!=0` 

-1/2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1/2)=2*(1/2)^3-3*(1/2)^2-(1/2)-2=1/4-3/4-1/2-2=-3!=0` 

1/2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-2)=2*(-2)^3-3*(-2)^2-(-2)-2=-16-12+2-2=-28!=0`

-2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(2)=2*(2)^3-3*(2)^2-2-2=16-12-2-2=0` 

2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x) wykonujemy dzielenie:

`(2x^3-3x^2-x-2):(x-2)=2x^2+x+1` 

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego 2x2+x+1.

`2x^2+x+1=0` 

`Delta=1^2-4*2*1=2-8=-6<0`

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odp: Rozwiązaniem poczatkowego równania jest liczba -2.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ (x^3+x^2)/15=1/3x-1/5\ \ \ \ \ |*15` 

`x^3+x^2=5x-3` 

`x^3+x^2-5x+3=0` 

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 3 to:

`p={-1,\ 1,-3,\ 3}` 

Dzielniki wyrazu an, czyli 2, to:

`q={-1,\ 1}` 

Mozliwe pierwiastki wielomianu w(x)=x3+x2-5x+3 to:

`(p)/(q)={-3,-1,\ 1,\ 3}` 

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(-1)=(-1)^3+(-1)^2-5*(-1)+3=-1+1+5+3=8!=0` 

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

  `w(1)=1^3+1^2-5*1+3=1+1-5+3=0` 

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x) wykonujemy dzielenie:

`(x^3+x^2-5x+3):(x-1)=x^2+2x-3`  

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego x2+2x-3.

`x^2+2x-3=0` 

`Delta=2^2-4*1*(-3)=4+12=16` 

`sqrtDelta=sqrt16=4` 

`x_1=(-2-4)/2=-3` 

`x_2=(-2+4)/2=1` 

Rozwiązaniem równania kwadratowego są liczby -3 oraz 1.

Odp: Rozwiązaniem poczatkowego równania jest liczba -3 i 1. 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ 1/4x^4+1/2x^3-1/4x^2=x+1/2\ \ \ \ \ |*4` 

`x^4+2x^3-x^2=4x+2` 

`x^4+2x^3-x^2-4x-2=0`   

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -2 to:

`p={-1,\ 1,-2,\ 2}` 

Dzielniki wyrazu an, czyli 1, to:

`q={-1,\ 1}` 

Mozliwe pierwiastki wielomianu w(x)=x4+2x3-x2-4x-2 to:

`(p)/(q)={-2,-1,\ 1,\ 2}` 

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(-1)=(-1)^4+2*(-1)^3-(-1)^2-4*(-1)-2=1-2-1+4-2=0` 

-1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x) wykonujemy dzielenie:

`(x^4+2x^3-x^2-4x-2):(x+1)=x^3+x^2-2x-2`  

Szukamy pierwiastków równania  x3+x2-2x-2=0.

Możemy pogrupować wyrazy.

`x^3+x^2-2x-2=x^2(x+1)-2(x+1)=(x^2-2)(x+1)` 

Mamy:

`(x^2-2)(x+1)=0` 

`\ \ \ \ \ \ \ x^2-2=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ vv \ \ \ \ \ x+1=0` 

` `

` `

`x=sqrt2\ \ vv\ \ x=-sqrt2\ \ vv\ \ x=-1` 

Pierwiastkami tego równania są √2 -√2 orazx -1.

Odp: Rozwiązaniem początkowego równania są liczby -1, √2 oraz -√2.

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ 2x^4-5x^3-3x^2=(3x-9)(2x^2+x)` 

`2x^4-5x^3-3x^2=6x^3+3x^2-18x^2-9x` 

`2x^4-5x^3-3x^2=6x^3-15x^2-9x` 

`2x^4-11x^3+12x^2+9x=0`   

Wyłączamy x przed nawias.

`x(2x^3-11x^2+12x+9)=0` 

`x=0\ \ \ vv\ \ \ 2x^3-11x^2+12x+9=0` 

Szukamy pierwiastków równania 2x3-11x2+12x+9=0.

`2x^3-11x^2+12x+9=0` 

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 9 to:

`p={-1,\ 1,-3,\ 3,-9,\ 9}`  

Dzielniki wyrazu an, czyli 2, to:

`q={-1,\ 1,-2,\ 2}`  

Mozliwe pierwiastki wielomianu w(x)=2x3-11x2+12x+9 to:

`(p)/(q)={-9,-9/2,-3,-3/2,-1,-1/2,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 3,\ 9/2,\ 9}` 

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(-1)=2*(-1)^3-11*(-1)^2+12*(-1)+9=-2-11-12+9=-16!=0` 

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=2*1^3-11*1^2+12*1+9=2-11+12+9=12!=0` 

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-1/2)=2*(-1/2)^3-11*(-1/2)^2+12*(-1/2)+9=-1/4-11/4-6+9=0` 

-1/2  jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x) wykonujemy dzielenie:

`(2x^3-11x^2+12x+9):(x+1/2)=2x^2-12x+18`  

Szukamy pierwiastków równania  2x2-12x+18=0.

Podzielmy równanie przez 2, wówczas obliczenia będą łatwiejsza, a pierwiastki się nie zmienią.

`2x^2-12x+18=0\ \ \ \ |:2` 

`x^2-6x+9=0` 

`Delta=(-6)^2-4*1*9=36-36=0` 

`x_1=6/2=3` 

Pierwiastkiem równania jest 3.

Odp: Rozwiązaniem początkowego równania są liczby -1/2, 0 oraz 3.