$a)f\left(x\right)=x^3+x^2-x-1$  

• Dziedzina:

$D_f=R$  

 

• Punkty przecięcia z osiami:

$f\left(0\right)=-1$  

Wykres przechodzi przez punkt (0,-1)

 

$f\left(x\right)=0$  

$x^3+x^2-x-1=0$  

$x^2\left(x+1\right)-\left(x+1\right)=0$  

$\left(x^2-1\right)\left(x+1\right)=0$  

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+1\right)=0$  

$\left(x-1\right){\left(x+1\right)}^2=0$  

$x_1=1\vee x_2=-1$  

 

• Obliczamy granice funkcji f:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+x^2-x-1\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^1}-\frac{1}{x^3}\right)\stackrel{\left[-\infty \cdot 1\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x^3+x^2-x-1\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^1}-\frac{1}{x^3}\right)\stackrel{\left[\infty \cdot 1\right]}{=}\infty$  

Nie ma asymptoty poziomej.

 

• Pochodna funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)={\left(x^3+x^2-x-1\right)}^{{}^{\prime }}=3x^2+2x-1$  

$D=R$  

 

Ekstrema i monotoniczność:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0$  

$3x^2+2x-1=0$  

$\Delta =2^2-4\cdot 3\cdot \left(-1\right)=4+12=16$  

$x_1=\frac{-2-4}{2\cdot 3}=\frac{-6}{6}=-1$  

$x_2=\frac{-2+4}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$  

Parabola jest skierowana ramionami ku górze a więc:

- Na lewo od punktu $-1$   znak pochodnej jest dodatni, na prawo jest ujemny. 

- Na lewo od punktu $\frac{1}{3}$   znak pochodnej jest ujemny, na prawo jest dodatni. 

  

$x$	$\left(-\infty ,-1\right)$	$-1$	$\left(-1,\frac{1}{3}\right)$	$\frac{1}{3}$	$\left(\frac{1}{3},\infty \right)$
$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	rosnąca	ekstremum	malejąca	ekstremum	rosnąca

---

$b)f\left(x\right)=x^4+x^2-2$  

• Dziedzina:

$D_f=R$  

 

• Punkty przecięcia z osiami:

$f\left(0\right)=-2$  

Wykres przechodzi przez punkt (0,-2)

 

$f\left(x\right)=0$  

$x^4+x^2-2=0$  

$t=x^2$  

$t^2+t-2=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=9$  

$t_1=\frac{-1-3}{2}=-2$  

$t_2=\frac{-1+3}{2}=1$  

$x^2=-2\vee x^2=1$  

$x_1=1\vee x_2=-1$  

 

• Obliczamy granice funkcji f:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^4+x^2-2\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^4\left(1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^4}\right)\stackrel{\left[\infty \cdot 1\right]}{=}\infty$  

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x^4+x^2-2\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^4\left(1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^4}\right)\stackrel{\left[\infty \cdot 1\right]}{=}\infty$  

Nie ma asymptoty poziomej.

 

• Pochodna funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)={\left(x^4+x^2-2\right)}^{{}^{\prime }}=4x^3+2x$  

$D=R$  

 

Ekstrema i monotoniczność:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0$  

$4x^3+2x=0$  

$2x\left(2x^2+1\right)=0$  

$x=0\vee 2x^2+1=0$  

$x=0$  

Parabola jest skierowana ramionami ku górze a więc:

- Na lewo od punktu $0$   znak pochodnej jest ujemny, na prawo jest dodatni. 

 

$x$	$\left(-\infty ,-1\right)$	$-1$	$\left(-1,0\right)$	$\left(0,1\right)$	$1$	$\left(1,\infty \right)$
$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)$	$-$	$0$	$-$	$+$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	malejąca	ekstremum	malejąca	rosnąca	ekstremum	rosnąca