Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

43
 Zadanie

44
 Zadanie
45
 Zadanie
46
 Zadanie
47
 Zadanie

`"założenia:"\ \ \ n in NN,\ \ \ w(x)=(x=2)^(2n)+(x+3)^n=1` 

`"teza:"\ \ \ "wielomian"\ w(x)\ "jest podzielny przez trojmian"\ x^2+5x+6` 

`"dowód:"` 

Rozłóżmy podany trójmian kwadratowy na czynniki pierwszego stopnia:

`Delta=5^2-481*6=25-24=1` 

`sqrt(Delta)=1` 

`x_1=(-5-1)/2=(-6)/2=-3` 

`x_2=(-5+1)/2=(-4)/2=-2` 

 

`x^2+5x+6=(x+3)(x+2)` 

 

 

Wielomian w(x) będzie podzielny przez podany trojmian, jeśli będzie podzielny przez każdy z dwumianów będących czynnikami tego trojmianu.

Musimy sprawdzić, czy wielomian w(x) jest podzielny przez dwumiany (x+3) oraz (x+2), czyli czy w(-3)=0 i czy w(2)=0. 

`w(-3)=(-3+2)^(2n)+(-3+3)^n-1=(-1)^(2n)+0^n-1=1+0-1=0` 

W powyższych obliczeniach skorzystaliśmy z tego, że 2n to liczba parzysta, a liczba (-1) podniesiona do potęgi parzystej daje 1. Liczba 0 podniesiona do dowolnej potęgi naturalnej daje 0. 

 

`w(-2)=(-2+2)^(2n)+(-2+3)^n-1=0^(2n)+1^n-1=0+1-1=0` 

Liczba 1 podniesiona do dowolnej potęgi naturalnej daje 1, a liczba 0 podniesiona do dowolnej potęgi naturalnej daje 0. 

 

Wielomian w(x) jest podzielny przez dwumianu (x=3) oraz (x+2), więc jest podzielny przez trójmian x²+5x+6.