$\text{załoz˙enia:}n\in \mathbb{N},w\left(x\right)={\left(x=2\right)}^{2n}+{\left(x+3\right)}^n=1$

$\text{teza:}\text{wielomian}w\left(x\right)\text{jest podzielny przez trojmian}{x}^2+5x+6$

$\text{dowoˊd:}$

Rozłóżmy podany trójmian kwadratowy na czynniki pierwszego stopnia:

$\Delta =5^2-481\cdot 6=25-24=1$

$\sqrt{\Delta }=1$

$x_1=\frac{-5-1}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

$x_2=\frac{-5+1}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

 

$x^2+5x+6=\left(x+3\right)\left(x+2\right)$

 

 

Wielomian w(x) będzie podzielny przez podany trojmian, jeśli będzie podzielny przez każdy z dwumianów będących czynnikami tego trojmianu.

Musimy sprawdzić, czy wielomian w(x) jest podzielny przez dwumiany (x+3) oraz (x+2), czyli czy w(-3)=0 i czy w(2)=0. 

$w\left(-3\right)={\left(-3+2\right)}^{2n}+{\left(-3+3\right)}^n-1={\left(-1\right)}^{2n}+0^n-1=1+0-1=0$

W powyższych obliczeniach skorzystaliśmy z tego, że 2n to liczba parzysta, a liczba (-1) podniesiona do potęgi parzystej daje 1. Liczba 0 podniesiona do dowolnej potęgi naturalnej daje 0. 

 

$w\left(-2\right)={\left(-2+2\right)}^{2n}+{\left(-2+3\right)}^n-1=0^{2n}+1^n-1=0+1-1=0$

Liczba 1 podniesiona do dowolnej potęgi naturalnej daje 1, a liczba 0 podniesiona do dowolnej potęgi naturalnej daje 0. 

 

Wielomian w(x) jest podzielny przez dwumianu (x=3) oraz (x+2), więc jest podzielny przez trójmian x²+5x+6.