Rysunek pomocniczy:

$\text{a)}$  Przekątne sześciokąta dzielą go na  $6$  trójkątów równobocznych o boku długości  $R.$    

Wobec tego obwód sześciokąta możemy zapisać następująco:

$L_6=6R$   

Obwód okręgu opisanego na sześciokącie obliczymy następująco:

$L_o=2\pi R$   

Wiemy, że obwód sześciokąta jest o  $8$  krótszy od obwodu okręgu, stąd:

$L_6+8=L_o$    

$6R+8=2\pi R$  

$8=2\pi R-6R$  

$\left(2\pi -6\right)R=8\text{/}:\left(2\pi -6\right)$  

$R=\frac{8}{2\pi -6}=\frac{4}{\pi -3}$  

Pole sześciokąta jest równe sumie pól sześciu trójkątów równobocznych o boku długości  $R.$  

Mamy więc:

$P=6\cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{{\left(\frac{4}{\pi -3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{16\sqrt{3}}{4{\left(\pi -3\right)}^2}=\frac{24\sqrt{3}}{{\left(\pi -3\right)}^2}$        

 

$\text{b)}$  Promień okręgu wpisanego w sześciokąt ma długość wysokości trójkąta równobocznego o boku długości  $R.$  

$r=\frac{R\sqrt{3}}{2}$  

Obwód sześciokąta możemy zapisać następująco:

$L_6=6R$   

Obwód okręgu wpisanego w sześciokąt obliczymy następująco:

$L_o=2\pi r=2\pi \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2}=\pi R\sqrt{3}$   

Wiemy, że obwód sześciokąta jest o  $2\sqrt{3}-\pi$  dłuższy od obwodu okręgu, stąd:

$L_o+2\sqrt{3}-\pi =L_6$    

$\pi R\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\pi =6R$  

$\pi R\sqrt{3}-6R=\pi -2\sqrt{3}$  

$\left(\pi \sqrt{3}-6\right)R=\pi -2\sqrt{3}\text{/}:\left(\pi \sqrt{3}-6\right)$  

$R=\frac{\pi -2\sqrt{3}}{\pi \sqrt{3}-6}$     

Pole sześciokąta jest równe sumie pól sześciu trójkątów równobocznych o boku długości  $R.$  

Mamy więc:

$P=6\cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{{\left(\frac{\pi -2\sqrt{3}}{\pi \sqrt{3}-6}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{\frac{{\pi }^2-4\sqrt{3}\pi +12}{3{\pi }^2-12\sqrt{3}\pi +36}\cdot \sqrt{3}}{4}=$     

$=6\cdot \frac{\frac{{\pi }^2-4\sqrt{3}\pi +12}{3\left({\pi }^2-4\sqrt{3}\pi +12\right)}\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{6\cdot \frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$