Matematyka

Autorzy:Aleksandra Ciszkowska, Alina Przychoda, Zygmunt Łaszczyk

Wydawnictwo:WSiP

Rok wydania:2012

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

a)

`|3-x|+4=8`

`|3-x|=4 `

Ze wględu na to, że dla wartości bezwzględnej |x|=|-x|

`|-(x-3)|=4`

`|x-3|=4`

Powyższe równanie jest spełnione dla liczb na osi liczbowej , których odległość od 3 jest równa 4.

`x=3-4=ul(-1)`

`x=3+4=ul7`

 

b)

`1/2|5+x|-1,5=6`

`1/2|5+x|=6+1,5`

`1/2|5+x|=7,5`      `/*2`

`|5+x|=15`

`|x+5|=15`

`|x-(-5)|=15`

Powyższe równanie jest spełnione dla liczb na osi liczbowej, których odległość od -5 jest równa 15.

`x=-5+15=ul10`

`x=-5-15=ul(-20)`

 

c)

`|x-2|+5=2|x-2|-21`

`|x-2|-2|x-2|= -21-5`

`-|x-2|=-26`    `/*(-1)`

`|x-2|=26`

Powyższe równanie jest spełnione dla liczb na osi liczbowej, których odległość od 2 jest równa 26.

`x=2-26=ul(-24)`

`x=2+26=ul28`

 

d)

`||x+1|-4|=6`

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej

`|x+1|-4=6 \ \ vv \ \ |x+1|-4=-6`

`|x+1|=6+4 \ \ vv \ \ |x+1|=-6+4`

`|x+1|=10 \ \ vv \ \ |x+1|=-2`

Teraz również na mocy definicji wartości bezwzględnej: odrzucamy rozwiązanie |x+1|=-2 (na ,,chłopski rozum"- wartość bezwzględna to odległość, zatem musi być dodatnia)

`|x+1|=10`

`|x-(-1)|=10`

Powyższe równanie jest spełnione dla liczb na osi liczbowej, których odległość od -1 jest równa 10.

`x=-1-10=ul(-11)`

`x=-1+10=ul9`

 

e)

`||8-x|-6|=4`

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej

`|8-x|-6=4 \ \ vv \ \ |8-x|-6=-4`

`|8-x|=4+6 \ \ vv \ \ |8-x|=-4+6`

`|8-x|=10 \ \ vv \ \ |8-x|=2`

`|x-6|=10 \ \ vv \ \ |x-6|=2`

Jak widać spełnione są dwie równości, będziemy mieć zatem 4 rozwiązania.Równość |x-6|=10 jest spełniona dla liczb których odległość od 6 jest równa 10:

`x=6-10=ul(-4)`

`x=6+10=ul(16)`

Równość |x-6|=2 jest spełniona dla liczb których odległość od 6 jest równa 2:

`x=6-2=ul(4)`

`x=6+2=ul8`

f)

`||x-21|-1|=|6-4sqrt3|`

`_(6-4sqrt3<0)`

`||x-21|-1|=-(6-4sqrt3)`

`||x-21|-1|=4sqrt3-6`

Korzystając z definicji wartości bezwzględne:

 

`|x-21|-1=4sqrt3-6 \ \ vv \ \ |x-21|-1=-(4sqrt3-6)`

`|x-21|=4sqrt3-6+1 \ \ vv \ \ |x-21|=6-4sqrt3+1`

`|x-21|=4sqrt3-5 \ \ vv \ \ |x-21|=7-4sqrt3`

Ponieważ oba rozwiązania są dodatnie, będziemy mieć 4 rozwiązania.

`x=21-(4sqrt3-5)=21-4sqrt3+5=ul(26-4sqrt3)`

`x=21+(4sqrt3-5)=ul(16+4sqrt3)`

`x=21-(7-4sqrt3)=ul(14+4sqrt3)`

`x=21+(7-4sqrt3)=ul(28-4sqrt3)`

 

 

g)

`4|4-x|+12=5|x-4|+4+|4-x|`

`4|x-4|+12=5|x-4|+4+|x-4|`

`12-4=6|x-4|-4|x-4|`

`8=2|x-4|`      ` /:2`

`4=|x-4|`

Powyższe równanie jest spełnione dla liczb na osi liczbowej, których odległość od 4 jest równa 4.

`x=4+4=ul8`

`x=4-4=ul0`

h)

`-|x+7|+12=32-3|x+7|`

`-|x+7|+3|x+7|=32-12`

`2|x+7|=20`       `/:2`

`|x+7|=10`

Powyższe równanie jest spełnione dla liczb na osi liczbowej, których odległość od -7 jest równa 10.

`x=-7+10=ul3`

`x=-7-10=ul(-17)`