a)

$\left|3-x\right|+4=8$

$\left|3-x\right|=4$

Ze względu na to, że dla wartości bezwzględnej |x|=|-x|      

$\left|-\left(x-3\right)\right|=4$

$\left|x-3\right|=4$

Powyższe równanie jest spełnione dla liczb na osi liczbowej , których odległość od 3 jest równa 4.

$x=3-4=\underline{-1}$

$x=3+4=\underline{7}$

 

b)

$\frac{1}{2}\left|5+x\right|-1,5=6$

$\frac{1}{2}\left|5+x\right|=6+1,5$

$\frac{1}{2}\left|5+x\right|=7,5\mid \cdot 2$     

$\left|5+x\right|=15$

$\left|x+5\right|=15$

$\left|x-\left(-5\right)\right|=15$

Powyższe równanie jest spełnione dla liczb na osi liczbowej, których odległość od -5 jest równa 15.

$x=-5+15=\underline{10}$

$x=-5-15=\underline{-20}$

 

c)

$\left|x-2\right|+5=2\left|x-2\right|-21$

$\left|x-2\right|-2\left|x-2\right|=-21-5$

$-\left|x-2\right|=-26\mid \cdot \left(-1\right)$    

$\left|x-2\right|=26$

Powyższe równanie jest spełnione dla liczb na osi liczbowej, których odległość od 2 jest równa 26.

$x=2-26=\underline{-24}$

$x=2+26=\underline{28}$

 

d)

$\left|\left|x+1\right|-4\right|=6$

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej

$\left|x+1\right|-4=6\vee \left|x+1\right|-4=-6$

$\left|x+1\right|=6+4\vee \left|x+1\right|=-6+4$

$\left|x+1\right|=10\vee \left|x+1\right|=-2$

Teraz również na mocy definicji wartości bezwzględnej: odrzucamy rozwiązanie |x+1|=-2 (na ,,chłopski rozum"- wartość bezwzględna to odległość, zatem musi być dodatnia)

$\left|x+1\right|=10$

$\left|x-\left(-1\right)\right|=10$

Powyższe równanie jest spełnione dla liczb na osi liczbowej, których odległość od -1 jest równa 10.

$x=-1-10=\underline{-11}$

$x=-1+10=\underline{9}$

 

e)

$\left|\left|8-x\right|-6\right|=4$

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej

$\left|8-x\right|-6=4\vee \left|8-x\right|-6=-4$

$\left|8-x\right|=4+6\vee \left|8-x\right|=-4+6$

$\left|8-x\right|=10\vee \left|8-x\right|=2$

$\left|x-8\right|=10\vee \left|x-8\right|=2$

Jak widać spełnione są dwie równości, będziemy mieć zatem 4 rozwiązania.

Równość |x-8|=10 jest spełniona dla liczb których odległość od 8 jest równa 10:

$x=8-10=\underline{-2}$

$x=8+10=\underline{18}$

Równość |x-8|=2 jest spełniona dla liczb których odległość od 8 jest równa 2:

$x=8-2=\underline{6}$

$x=8+2=\underline{10}$

 

f)

$\left|\left|x-21\right|-1\right|=\left|6-4\sqrt{3}\right|$

$\left|\left|x-21\right|-1\right|=-\left(6-4\sqrt{3}\right)$

$\left|\left|x-21\right|-1\right|=4\sqrt{3}-6$

Korzystając z definicji wartości bezwzględne:

 

$\left|x-21\right|-1=4\sqrt{3}-6\vee \left|x-21\right|-1=-\left(4\sqrt{3}-6\right)$

$\left|x-21\right|=4\sqrt{3}-6+1\vee \left|x-21\right|=6-4\sqrt{3}+1$

$\left|x-21\right|=4\sqrt{3}-5\vee \left|x-21\right|=7-4\sqrt{3}$

Ponieważ oba rozwiązania są dodatnie, będziemy mieć 4 rozwiązania.

$x=21-\left(4\sqrt{3}-5\right)=21-4\sqrt{3}+5=\underline{26-4\sqrt{3}}$

$x=21+\left(4\sqrt{3}-5\right)=\underline{16+4\sqrt{3}}$

$x=21-\left(7-4\sqrt{3}\right)=\underline{14+4\sqrt{3}}$

$x=21+\left(7-4\sqrt{3}\right)=\underline{28-4\sqrt{3}}$

 

g)

$4\left|4-x\right|+12=5\left|x-4\right|+4+\left|4-x\right|$

$4\left|x-4\right|+12=5\left|x-4\right|+4+\left|x-4\right|$

$12-4=6\left|x-4\right|-4\left|x-4\right|$

$8=2\left|x-4\right|\text{|}:2$       

$4=\left|x-4\right|$

Powyższe równanie jest spełnione dla liczb na osi liczbowej, których odległość od 4 jest równa 4.

$x=4+4=\underline{8}$

$x=4-4=\underline{0}$

 

h)

$-\left|x+7\right|+12=32-3\left|x+7\right|$

$-\left|x+7\right|+3\left|x+7\right|=32-12$

$2\left|x+7\right|=20\mid :2$       

$\left|x+7\right|=10$

Powyższe równanie jest spełnione dla liczb na osi liczbowej, których odległość od -7 jest równa 10.

$x=-7+10=\underline{3}$

$x=-7-10=\underline{-17}$