1 szkoły ponadpodstawowej

I liceum

I technikum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

a) 3x3yz2=3⋅(−3)3⋅(−1)⋅(−2)2=3⋅(−27)⋅(−1)⋅4=(−81)⋅(−4)=324

Rozwiązanie 1

a)
Zbiór dzielników liczby 15

18=2*9
Liczba jest podzielna prze 18, jeśli jest podzielna przez 2 i przez 9. Liczba jest podzielna przez 2, jeśli ostatnią jej cyfrą jest 0,2,4,6 lub 8, a podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Sprawdzamy po kolei podzielność wymienionych liczb przez 18:

Na wstępnie odrzucamy odpowiedzi A i C- nie są to liczby pierwsze. Chcemy uzyskać możliwie największy dzielnik tej liczby, więc sprawdzamy, czy liczba 357 jest podzielna przez 17:

Oznaczmy sobie pierwszą liczbę literą n, drugą n+1, trzecią n+2 i tak dalej. Sporządźmy równanie: n+n+1+n+2+n+3+n+4=35 5n+10=35

a) Wypisujemy liczby, których suma cyfr jest podzielna przez 3 (cecha podzielności przez 3):
<ul>
<li>666</li>
<li>810</li>
<li>1728</li>

a)
98=2⋅7⋅7 D98={1,2,7,14,49,98}
b)

a) {3n:   n∈N}

Intuicyjnym faktem jest to, że jeśli któryś z czynników na które rozłożona jest liczba dzieli się przez daną liczbę, to również cała liczba (rozłożona na czynniki) dzieli się przez tą liczbę. a) 24⋅18⋅35

36=6*6
Aby liczba była wielokrotnością liczby 36, czyli była jednocześnie podzielna przez 36, musi po pierwsze: być podzielna przez 6 (zgodnie z cechą podzielności- liczba jest podzielna przez 6 jeśli jest podzielna przez 3 i 2)
<ul>
<li>572 jest podzielna przez 2 ale nie jest podzielna przez 3</li>
<li>816 jest podzielna przez 2, jest podzielna przez 3</li>

a) Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3, a przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9. Suma cyfr tej liczby ma więc być podzielna przez 3 ale nie przez 9. Suma pięciu z ośmiu cyfr tej liczby (z pominięciem niewiadomej x) jest równa 16- więc jaką jednocyfrową liczbe możemy dodać do 16 aby wynikiem była liczba podzielna przez 3, ale niepodzielna przez 9? Należy dodać liczbę 5 lub 8- otrzymamy w wyniku 21 lub 24- liczby podzielne przez 3, ale niepodzielnw przez 9. x∈{5,8} b) Ta liczba jest już podzielna przez 2 niezależnie od dobranych cyfr x i y, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest liczba 4. Ma być niepodzielna przez 4- zatem dwie ostatnie cyfry mają tworzyć liczbę niepodzielną przez 4 (cecha przeciwna do cecha podzielności przez 4). Wynika z tego, że x może być dowolną cyfrą, a y może wynosić: y=1 (14 jest niepodzielne przez 4) y=3 (34 jest niepodzielne przez 4) y=5 (54 jest niepodzielne przez 4) y=7 (74 jest niepodzielne przez 4) y=9 (94 jest niepodzielne przez 4) x∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Liczby podzielne przez 99 występują co 99 kolejnych liczb naturalnych, np. 99,198,297 itd. W zadaniu określono 101 kolejnych liczb naturalnych, zatem zbiór ten zawiera co najmniej jedną, a najwyżej dwie liczby podzielne przez 99

a) 98=91+7