W każdym przykładzie zostały zaznaczone dwa miejsca zerowe funkcji.

Mając miejsca zerowe mamy postac iloczynową:

$x_{1}, x_{2} - miejsca zerowe \Rightarrow f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) - p. iloczynowa$

Na koniec podstawiając współrzędne punktu A wyliczymy współczynnik a.

Postać ogólną uzyskamy wymnażając postać iloczynową.

Postać kanoniczną uzyskamy obliczając współrzędne wierzchołka i korzystając z poniższych wzorów:

$W = (p, q), p = - \frac{b}{2 a}, q = f (p) = \frac{- Δ}{4 a}, w t e d y f (x) = a (x - p)^{2} + q$

$a)$

$x_{1} = - 4, x_{2} = 1 \Rightarrow f (x) = a (x + 4) (x - 1)$

$A = (- 3, 1) \Rightarrow f (- 3) = 1 \Rightarrow a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 - 1) = 1 \Rightarrow a \cdot 1 \cdot (- 4) = 1 ∣ : (- 4) \Rightarrow a = - \frac{1}{4}$

$f (x) = p. iloczynowa - \frac{1}{4} (x + 4) (x - 1) = - \frac{1}{4} (x^{2} - x + 4 x - 4) = p. og \overset{o}{ˊ} lna - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{4} x + 1$

Do postaci kanonicznej potrzebne są współrzędne wierzchołka:

$p = \frac{- b}{2 a} = \frac{\frac{3}{4}}{2 \cdot ( - \frac{1}{4} )} =$ $\frac{\frac{3}{4}}{- \frac{2}{4}} = \frac{3}{4} : (- \frac{2}{4}) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{2}) = - \frac{3}{2}$

$q = f (p) = f (- \frac{3}{2}) = - \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} + 4) (- \frac{3}{2} - 1) =$ $- \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{1}{2} \cdot (- 2 \frac{1}{2}) =$ $- \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) = \frac{25}{16} = 1 \frac{9}{16}$

$f (x) = p. kanoniczna - \frac{1}{4} (x + \frac{3}{2})^{2} + 1 \frac{9}{16}$

$b)$

$x_{1} = 2, x_{2} = 5 \Rightarrow f (x) = a (x - 2) (x - 5)$

$A = (1, 1 \frac{3}{5}) \Rightarrow f (1) = 1 \frac{3}{5} = \frac{8}{5} \Rightarrow a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 5) = \frac{8}{5} \Rightarrow a \cdot (- 1) \cdot (- 4) = \frac{8}{5} ∣ : 4 \Rightarrow a = \frac{2}{5}$

$f (x) = p. iloczynowa \frac{2}{5} (x - 2) (x - 5) = \frac{2}{5} (x^{2} - 5 x - 2 x + 10) = p. og \overset{o}{ˊ} lna \frac{2}{5} x^{2} - \frac{14}{5} x + 4$

Obliczamy współrzędne wierzchołka:

$p = \frac{\frac{14}{5}}{2 \cdot \frac{2}{5}} = \frac{\frac{14}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{14}{5} : \frac{4}{5} = \frac{14}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

$q = \frac{2}{5} \cdot (\frac{7}{2} - 2) (\frac{7}{2} - 5) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2}) =$ $- \frac{9}{10}$

$f (x) = p. kanoniczna \frac{2}{5} (x - \frac{7}{2})^{2} - \frac{9}{10}$

$c)$

$x_{1} = 0, x_{2} = 3 \Rightarrow f (x) = a x (x - 3)$

$A = (- 2, - 2) \Rightarrow f (- 2) = - 2 \Rightarrow a \cdot (- 2) \cdot (- 2 - 3) = - 2 \Rightarrow 10 a = - 2 ∣ : 10 \Rightarrow a = - \frac{2}{10} = - \frac{1}{5}$

$f (x) = p. iloczynowa - \frac{1}{5} x (x - 3) = p. og \overset{o}{ˊ} lna - \frac{1}{5} x^{2} + \frac{3}{5} x$

Obliczamy współrzędne wierzchołka:

$p = \frac{- \frac{3}{5}}{2 \cdot ( - \frac{1}{5} )} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{5} : \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$

$q = f (\frac{3}{2}) = - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 3) = - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2}) =$ $\frac{9}{20}$

$f (x) = p. kanoniczna - \frac{1}{5} (x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{9}{20}$

$d)$

$x_{1} = - 3, x_{2} = 2 \Rightarrow f (x) = a (x + 3) (x - 2)$

$A = (1, - 1 \frac{1}{3}) \Rightarrow f (1) = - 1 \frac{1}{3} = - \frac{4}{3} \Rightarrow a (1 + 3) \cdot (1 - 2) = - \frac{4}{3} \Rightarrow - 4 a = - \frac{4}{3} ∣ : (- 4) \Rightarrow a = \frac{1}{3}$

$f (x) = p. iloczynowa \frac{1}{3} (x + 3) (x - 2) = \frac{1}{3} (x^{2} - 2 x + 3 x - 6) = p. og \overset{o}{ˊ} lna \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x - 2$

Obliczamy współrzędne wierzchołka:

$p = \frac{- \frac{1}{3}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = - \frac{1}{2}$

$q = f (2) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{2} + 3) \cdot (- \frac{1}{2} - 2) = \frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{2} \cdot (- 2 \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{12} = - 2 \frac{1}{12}$

$f (x) = p. kanoniczna \frac{1}{3} (x + \frac{1}{2})^{2} - 2 \frac{1}{12}$

2.52.