W każdym przykładzie zostały zaznaczone dwa miejsca zerowe funkcji.
Mając miejsca zerowe mamy postac iloczynową:
x1, x2 − miejsca zerowe ⇒ f(x)=a(x−x1)(x−x2) − p. iloczynowa
Na koniec podstawiając współrzędne punktu A wyliczymy współczynnik a.
Postać ogólną uzyskamy wymnażając postać iloczynową.
Postać kanoniczną uzyskamy obliczając współrzędne wierzchołka i korzystając z poniższych wzorów:
W=(p, q), p=−2ab, q=f(p)=4a−Δ, wtedy f(x)=a(x−p)2+q
a)
x1=−4, x2=1 ⇒ f(x)=a(x+4)(x−1)
A=(−3, 1) ⇒ f(−3)=1 ⇒ a⋅(−3+4)⋅(−3−1)=1 ⇒ a⋅1⋅(−4)=1 ∣:(−4) ⇒ a=−41
f(x)=p. iloczynowa−41(x+4)(x−1)=−41(x2−x+4x−4)=p. ogoˊlna−41x2−43x+1
Do postaci kanonicznej potrzebne są współrzędne wierzchołka:
p=2a−b=2⋅(−41)43= −4243=43:(−42)=43⋅(−24)=−23
q=f(p)=f(−23)=−41(−23+4)(−23−1)= −41⋅221⋅(−221)= −41⋅25⋅(−25)=1625=1169
f(x)=p. kanoniczna−41(x+23)2+1169
b)
x1=2, x2=5 ⇒ f(x)=a(x−2)(x−5)
A=(1, 153) ⇒ f(1)=153=58 ⇒ a⋅(1−2)⋅(1−5)=58 ⇒ a⋅(−1)⋅(−4)=58 ∣:4 ⇒ a=52
f(x)=p. iloczynowa52(x−2)(x−5)=52(x2−5x−2x+10)=p. ogoˊlna52x2−514x+4
Obliczamy współrzędne wierzchołka:
p=2⋅52514=54514=514:54=514⋅45=414=27
q=52⋅(27−2)(27−5)=52⋅23⋅(−23)= −109
f(x)=p. kanoniczna52(x−27)2−109
c)
x1=0, x2=3 ⇒ f(x)=ax(x−3)
A=(−2, −2) ⇒ f(−2)=−2 ⇒ a⋅(−2)⋅(−2−3)=−2 ⇒ 10a=−2 ∣:10 ⇒ a=−102=−51
f(x)=p. iloczynowa−51x(x−3)=p. ogoˊlna−51x2+53x
Obliczamy współrzędne wierzchołka:
p=2⋅(−51)−53=5253=53:52=53⋅25=23
q=f(23)=−51⋅23⋅(23−3)=−51⋅23⋅(−23)= 209
f(x)=p. kanoniczna−51(x−23)2+209
d)
x1=−3, x2=2 ⇒ f(x)=a(x+3)(x−2)
A=(1,−131) ⇒ f(1)=−131=−34 ⇒ a(1+3)⋅(1−2)=−34 ⇒ −4a=−34 ∣:(−4) ⇒ a=31
f(x)=p. iloczynowa31(x+3)(x−2)=31(x2−2x+3x−6)=p. ogoˊlna31x2+31x−2
Obliczamy współrzędne wierzchołka:
p=2⋅31−31=−21
q=f(2)=31⋅(−21+3)⋅(−21−2)=31⋅221⋅(−221)=31⋅25⋅(−25)=−1225=−2121
f(x)=p. kanoniczna31(x+21)2−2121
