Liczby  $1$  oraz  $3$  są pierwiastkami wielomianu  $W\left(x\right),$  więc  $W\left(1\right)=0$  oraz  $W\left(3\right)=0.$  

Obliczmy  $W\left(1\right)$  i  $W\left(3\right):$  

$W\left(1\right)=1+a+b+6=a+b+7$  

$W\left(3\right)=27+9a+3b+6=9a+3b+33$  

Przyrównajmy teraz powyższe wartości do zera - otrzymamy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi:

$\{\begin{array}{l}a+b+7=0\\ 9a+3b+33=0\text{/}:3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+b+7=0\\ 3a+b+11=0\end{array}$             

$\{\begin{array}{l}a+b=-7\\ 3a+b=-11\end{array}$  

Odejmując równania stronami otrzymamy:

$-2a=4\text{/}:2$  

$a=-2$  

Obliczamy  $b:$  

$a+b=-7$  

$-2+b=-7$  

$b=-5$  

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

$\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-5\end{array}$  

Czyli wielomian  $W\left(x\right)$  ma postać:

$W\left(x\right)=x^3-2x^2-5x+6$  

Wiemy, że  $\left(x-1\right)\mid W\left(x\right)$  oraz  $\left(x-3\right)\mid W\left(x\right).$  Oznacza to, że  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\cdot Q\left(x\right),$  gdzie  $\left(x-3\right)\mid Q\left(x\right)$  

Skorzystajmy z algorytmu Hornera i wyznaczmy postać wielomianu  $Q\left(x\right):$  

	$1$	$-2$	$-5$	$6$
$1$		$1$	$-1$	$-6$
	$1$	$-1$	$-6$	$0$

Otrzymaliśmy:

$Q\left(x\right)=x^2-x-6$  

Przyrównując  $Q\left(x\right)$  do zera otrzymamy równanie kwadratowe.

$x^2-x-6=0$  

$\Delta =1+24=25$  

$\sqrt{\Delta }=5$  

$x_1=\frac{1-5}{2}=-2\vee x_2=\frac{1+5}{2}=3$  

Zatem:

$Q\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x-3\right)$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać w postaci:

$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x+2\right)$  

Trzecim pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  jest  $-2.$