Matematyka

Autorzy:Marcin Kurczab Elżbieta Kurczab Elżbieta Świda

Wydawnictwo:Krzysztof Pazdro

Rok wydania:2014

O godzinie 13:00 statek "Batory" płynący z portu P 4.43 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

O godzinie 13:00 statek "Batory" płynący z portu P

1
 Zadanie
2
 Zadanie
3
 Zadanie

4
 Zadanie

Narysujmy rysunki pomocnicze. Statek Batory oddala się od portu (w każdej godzinie o 20 km), a statek Moniuszko przybliża się do portu (w każdej godzinie o 40 km). Czas (w godzinach) został oznaczony przez t. 

Czas oraz odległości statków od portu muszą być liczbami dodatnimi, więc zapiszmy założenia: 

`{(t>0), (10+20t>0\ \ \ |-10), (60-40t>0\ \ \ |+40t):}\ \ \ =>\ \ \ {(t>0), (20t> -10\ \ \ |:20), (60>40t\ \ \ |:40):}\ \ \ =>\ \ \ {(t>0), (t> -1/2), (t<3/2):}\ \ \ =>\ \ \ t in (0,\ 3/2)` 

 

 

Odległość między statkami (na rysunku oznaczona D(t)) możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa: 

`(10+20t)^2+(60-40t)^2=(D(t))^2` 

`100+400t+400t^2+3600-4800t+1600t^2=(D(t))^2` 

`2000t^2-4400t+3700=(D(t))^2` 

`D(t)=sqrt(2000t^2-4400t+3700)`  

 

Odległość ma być najmniejsza, jest dana pierwiastkiem. Wartość pierwiastka będzie najmniejsza, jeśli wartość wyrażenia pod pierwiastkiem będzie najmniejsza. Wyrażenie podpierwiastkowe to funkcja kwadratowa zmiennej t, o dodatnim współczynniku a=2000, zatem ramiona paraboli są skierowane w dół, jest osiągana wartość najmniejsza (w wierzchołku). Policzmy zatem, po jakim czasie odległość między statkami będzie najmniejsza:

`t_(m i n)=t_w=-b/(2a)=4400/(2*2000)=4400/4000=11/10=1 1/10in(0, \ 3/2)` 

 

`t=1 1/10\ godz.=1 6/60\ godz=1\ godz \ 6\ mi n` 

Odległość między statkami będzie największa po upływie 1 godziny i 6 minut od godziny 13:00, czyli o godzinie 14:06.

 

Obliczamy, ile będzie wynosić ta odległość:

`D(11/10)=sqrt(2000*(11/10)^2-4400*11/10+3700)=` 

`=sqrt(2000*121/100-440*11+3700)=` `sqrt(2420-4840+3700)=` 

`=sqrt1280~~35,78\ km` 

 

 

Odpowiedź:

Odległość między statkami będzie najmniejsza o 14:06 i będzie wynosić ona około 35,78 km.