2 szkoły ponadpodstawowej

II liceum

II technikum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

a) Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie hiperboli y=-1/x o 1 jednostkę w lewo&nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/33553/e/GnM5Q4WPw/4gI3D/lOlQ%3D%3D_f94373f837094ed86c2f8d268681086fdd2c3813048dbdc0954912e183822f8c.jpg" width="567" height="584"> Df​ = R{−1} f(x)↑   ⇔   x∈(−∞, −1),  x∈(−1, +∞) &nbsp; UWAGA: Błędem byłoby zapisanie, że funkcja jest rosnąca w sumie przedziałów (-∞, -1) ∪&nbsp;(-1, +∞), bo to oznaczałoby, że

a) &nbsp; <table style="border-collapse: collapse;width: 633px;height: 108px;" border="1"> <tbody> <tr> <td style="background-color: #6699cc;text-align: center;vertical-align: middle;"> x &nbsp;</td> <td style="width: 54px;text-align: center;vertical-align: middle;"> −6 &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> −3 &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> −2 &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> −1 &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> −21​ &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> 21​ &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> 1 &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> 2 &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> 3 &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> 6 &nbsp;</td> </tr> <tr> <td style="background-color: #6699cc;text-align: center;vertical-align: middle;"> y &nbsp;</td> <td style="width: 54px;text-align: center;vertical-align: middle;"> −21​ &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> −1 &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> −23​ &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> −3 &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> −6 &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> 6 &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> 3 &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> 23​ &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> 1 &nbsp;</td> <td style="width: 54.6667px;text-align: center;vertical-align: middle;"> 21​ &nbsp;</td> </tr> </tbody> </table> <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/33564/ORxNmh%2B%2B0ILOtPN4ZGICOg%3D%3D_18924b55368718386be108c142c6effe4b5d37249fd2f42e252daacdc93bf19b.jpg" alt="" width="555" height="516"> g(x)=x+13​ Dg​ = R\{−1} ZWg​ = R\{0} x=−1  −  asymptota pionowa y=0  −  asymptota pozioma

a) f(2)=2−46​=−26​=−3=−4   ⇒   nie nalez˙y

a) P=(3, 3)   ⇒   f(3)=3   ⇒   3−2a​=3   ⇒   a=3   ⇒   f(x)=x−23​

a) Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie hiperboli y=1/x o 2 jednostki w prawo, a wykres funkcji g powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f o 1 jednostkę w górę.&nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/33568/rGq4YzhR7DlEaLGVqzRlMw%3D%3D_f40b7f9d9bf4c04a28ca6b8fd086867ddba9f4ae784d89a4a6f6342447cc8347.jpg" width="719" height="713"> x=2,  y=0   −   asymptoty funkcji f x=2,  y=1  −  asymptoty funkcji g &nbsp;

a) Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie hiperboli y=1/x o 4 jednostki w prawo.&nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/33572/8zzbI5AW1XRMnzJetWknKA%3D%3D_c2bed2535c4dcd8d73c6bb5703f1afd8f631aa429881a480d53a75968b33ba56.jpg" width="533" height="527"> f(x)↓   ⇔   x∈(−∞, 4),   x∈(4, +∞)

Jeśli asymptota pionowa przechodzi przez punkt Q, to równanie asymptoty ma postać x=pierwsza współrzędna punktu Q.&nbsp; &nbsp; &nbsp; a) x=1  −  asymptota pionowa Zatem wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie hiperboli y=2/x o 1 jednostkę w prawo.&nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/33578/xiaxlEGx/7jNKEL6fyLrKQ%3D%3D_c1309ba87d651eb1dd5a5d7cc0f1355316f91d0493b6f6889efe1b6dfd9f3e0b.jpg">

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Szkoła branżowa I stopnia

Matematyka 2. Zakres podstawowy

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka dla zasadniczych szkół zawodowych. Cz. 1

Matematyka dla zasadniczych szkół zawodowych. Cz. 2

Matematyka do zasadniczych szkół zawodowych 2

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka w szkole branżowej I stopnia. Podręcznik 2

Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej kl. 1 - 3

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$	$- \frac{3}{2}$	$- 3$	$- 6$	$6$	$3$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$

Komentarze