2 szkoły ponadpodstawowej

II liceum

II technikum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

a) Długości boków muszą być liczbami dodatnimi, więc zapiszmy założenia:&nbsp; {x&gt;0x+2&gt;0​   ⇒   {x&gt;0x&gt;−2​   ⇒   x∈(0, +∞) &nbsp; &nbsp; Skorzystajmy z informacji o polu, aby wyliczyć x:

Najpierw zapiszmy założenia (długości boków i przekątnej muszą być liczbami dodatnimi) &nbsp; ⎩<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='0.8889em' height='0.616em' style='width:0.8889em' viewBox='0 0 888.89 616' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M384 0 H504 V616 H384z M384 0 H504 V616 H384z'/></svg>⎨<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='0.8889em' height='0.616em' style='width:0.8889em' viewBox='0 0 888.89 616' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M384 0 H504 V616 H384z M384 0 H504 V616 H384z'/></svg>⎧​x−10&gt;0x+4&gt;0x+6&gt;0​   ⇒   ⎩<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='0.8889em' height='0.616em' style='width:0.8889em' viewBox='0 0 888.89 616' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M384 0 H504 V616 H384z M384 0 H504 V616 H384z'/></svg>⎨<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='0.8889em' height='0.616em' style='width:0.8889em' viewBox='0 0 888.89 616' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M384 0 H504 V616 H384z M384 0 H504 V616 H384z'/></svg>⎧​x&gt;10x&gt;−4x&gt;−6​   ⇒   x∈(10,+∞) &nbsp; &nbsp; Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać: &nbsp; (x−10)2+(x+4)2=(x+6)2

Oznaczmy przez x szerokość ramy (w dm).&nbsp; Wtedy widoczna część zdjęcia ma wymiary 8-2x i 6-2x.&nbsp; &nbsp; Oczywiście x oraz wymiary zdjęcia muszą być dodatnie, więc zapiszmy założenia:&nbsp; ⎩<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='0.8889em' height='0.616em' style='width:0.8889em' viewBox='0 0 888.89 616' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M384 0 H504 V616 H384z M384 0 H504 V616 H384z'/></svg>⎨<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='0.8889em' height='0.616em' style='width:0.8889em' viewBox='0 0 888.89 616' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M384 0 H504 V616 H384z M384 0 H504 V616 H384z'/></svg>⎧​x&gt;08−2x&gt;06−2x&gt;0​   ⇒   ⎩<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='0.8889em' height='0.616em' style='width:0.8889em' viewBox='0 0 888.89 616' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M384 0 H504 V616 H384z M384 0 H504 V616 H384z'/></svg>⎨<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='0.8889em' height='0.616em' style='width:0.8889em' viewBox='0 0 888.89 616' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M384 0 H504 V616 H384z M384 0 H504 V616 H384z'/></svg>⎧​x&gt;0x&lt;4x&lt;3​   ⇒   x∈(0, 3) &nbsp; Teraz wykorzystamy informację o polu:

Oznaczmy przez x szerokość ramy (w dm).&nbsp; Wtedy widoczna część zdjęcia ma wymiary 7,5-2x i 5,5-2x.&nbsp; Oczywiście x oraz wymiary zdjęcia muszą być dodatnie, więc zapiszmy założenia:&nbsp; ⎩<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='0.8889em' height='0.616em' style='width:0.8889em' viewBox='0 0 888.89 616' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M384 0 H504 V616 H384z M384 0 H504 V616 H384z'/></svg>⎨<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='0.8889em' height='0.616em' style='width:0.8889em' viewBox='0 0 888.89 616' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M384 0 H504 V616 H384z M384 0 H504 V616 H384z'/></svg>⎧​x&gt;07.5−2x&gt;05.5−2x&gt;0​   ⇒   ⎩<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='0.8889em' height='0.616em' style='width:0.8889em' viewBox='0 0 888.89 616' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M384 0 H504 V616 H384z M384 0 H504 V616 H384z'/></svg>⎨<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='0.8889em' height='0.616em' style='width:0.8889em' viewBox='0 0 888.89 616' preserveAspectRatio='xMinYMin'><path d='M384 0 H504 V616 H384z M384 0 H504 V616 H384z'/></svg>⎧​x&gt;0x&lt;3.75x&lt;2.75​   ⇒   x∈(0; 2,75) &nbsp; Teraz skorzystajmy z informacji o polu:&nbsp;

a) x2=x   ∣−x x2−x=0 x(x−1)=0 x=0   ∨   x−1=0 x=0   ∨   x=1

a) &nbsp; Δ=12−4⋅1⋅(−6)=1+24=25 &nbsp;&nbsp; Δ<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=5 &nbsp; x1​=2−1−5​=−3 &nbsp; x2​=2−1+5​=2 &nbsp;

a) &nbsp; x−4=0   ∨   x−2=0 &nbsp; x=4        ∨   x=2 &nbsp; 41​+21​=41​+42​=43​ &nbsp; - suma odwrotności pierwiastków równania

a) &nbsp; Δ=(−9)2−4⋅2⋅4=81−32=49 &nbsp; Δ<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=7 &nbsp; x1​=2⋅29−7​=42​=21​ &nbsp; x2​=2⋅29+7​=416​=4 &nbsp;

Wystarczy sprawdzić, czy delta jest nieujemna - jeśli tak, to można przedstawić trójmian w postaci iloczynowej &nbsp; &nbsp; a) &nbsp; Δ=(2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​+1)2−4⋅1⋅2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​= &nbsp; 2+22<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​+1−42<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=3−22<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​≈3−2⋅1,41&gt;0 &nbsp; Można przedstwić trójmian w postaci iloczynowej &nbsp;

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Szkoła branżowa I stopnia

Matematyka 2. Zakres podstawowy

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka dla zasadniczych szkół zawodowych. Cz. 1

Matematyka dla zasadniczych szkół zawodowych. Cz. 2

Matematyka do zasadniczych szkół zawodowych 2

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka w szkole branżowej I stopnia. Podręcznik 2

Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej kl. 1 - 3

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Komentarze