$a)$

Długości boków muszą być liczbami dodatnimi, więc zapiszmy założenia: 

$\{\begin{array}{l}x>0\\ x+2>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>0\\ x>-2\end{array}\Rightarrow x\in \left(0,+\infty \right)$

 

 

Skorzystajmy z informacji o polu, aby wyliczyć x:

$x\cdot \left(x+2\right)=323$

$x^2+2x=323\mid -323$

$x^2+2x-323=0$

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-323\right)=4+1292=1296$

$\sqrt{\Delta }=36$

$x_1=\frac{-2-36}{2}=-19\notin \left(0,+\infty \right)$  

$x_2=\frac{-2+36}{2}=\frac{34}{2}=17\in \left(0,+\infty \right)$   

 

$x=17$  

$x+2=17+2=19$  

 

$O=2\cdot \left(17+19\right)=2\cdot 36=72\text{cm}$  

Odp. Obwód tego prostokąta wynosi  $72\text{cm}.$   

 

 

 

 

$b)$

$\{\begin{array}{l}x-2>0\\ x+4>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>2\\ x>-4\end{array}\Rightarrow x\in \left(2,+\infty \right)$

 

 

$\left(x-2\right)\left(x+4\right)=247$

$x^2+4x-2x-8=247\mid -247$

$x^2+2x-255=0$

$\Delta 2^2-4\cdot 1\cdot \left(-255\right)=4+1020=1024$

$\sqrt{\Delta }=32$

$x_1=\frac{-2-32}{2}\notin \left(2,+\infty \right)$

$x_2=\frac{-2+32}{2}=\frac{30}{2}=15\in \left(2,+\infty \right)$

 

 

$x=15$

$x-2=15-2=13$

$x+4=15+4=19$

 

Długości boków tego prostokąta to 13 cm i 19 cm.