Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Pole n-kąta foremnego jest równe 54. Oblicz pole 4.84 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

a)

 

Przyrównujemy znaną wartość pola trójkąta do wzoru na te pole- w ten sposób wyliczamy jego bok a.

`P=(a^2sqrt3)/4`

`54=(a^2sqrt3)/4`     `/*4`

`216=a^2sqrt3`        `/:sqrt3`

`a^2=216/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(216sqrt3)/3=72sqrt3`

`a^2=72sqrt3 `          `/sqrt`

`a=sqrt72sqrtsqrt3`

`a=sqrt(36*2)sqrtsqrt3`

`a=6sqrt2sqrtsqrt3`

`h=(asqrt3)/2=(strike6sqrt2sqrtsqrt3sqrt3)/(strike2)=3sqrt2sqrt(3sqrt3)=3sqrt(6sqrt3)`

 Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny stanowi jedną trzecią wysokości tego trójkąta:

`r=1/3h=1/3*3sqrt(6sqrt3)=sqrt(6sqrt3)`

`P=pir^2=pi(sqrt(6sqrt3))^2=ul(6sqrt3pi)`

b)

 

Przyrównujemy znaną wartość pola kwadratu do wzoru na te pole- w ten sposób wyliczamy jego bok a.

`P=a^2`

`54=a^2 `    `/sqrt`

`a=sqrt54`

`a=sqrt(9*6)=3sqrt6`

Promień okręgu wpisanego w kwadrat stanowi połowę boku kwadratu:

`r=1/2a=1/2*3sqrt6=3/2sqrt6`

`P=pir^2=pi(3/2sqrt6)^2=pi 9/4*6=54/4pi=ul(13 1/2 pi)`

 

c)

Sześciokąt foremny składa się z sześciu przystających trójkątów równobocznych. 

 

Przyrównujemy znaną wartość pola wielokąta do wzoru na te pole- w ten sposób wyliczamy jego bok a.

`P=strike6*(a^2sqrt3)/(strike4)=(3a^2sqrt3)/2`

`(3a^2sqrt3)/2=54 `         `/*2`

`3a^2sqrt3=108`            `/:3`

`a^2sqrt3=36`              `/sqrt3`

`a^2=36/(sqrt3) *sqrt3/sqrt3`

`a^2=12sqrt3`         `/sqrt`

`a=sqrt(12sqrt3)`

Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym ma długość wysokości trójkąta równobocznego o boku takim samym jak bok tego sześciokąta.

`r=h=(asqrt3)/2=(sqrt(12sqrt3)*sqrt3)/2=sqrt(12sqrt3*3)/2=(sqrt(3*4sqrt3*3)/2=(strike2sqrt(3*3sqrt3))/(strike2)=sqrt(3*3sqrt3)=3sqrtsqrt3`

`r=3sqrtsqrt3`

`P=pir^2=pi(3sqrtsqrt3)^2=pi9*sqrt3=ul(9sqrt3pi)`