$a)$  

$\{\begin{array}{l}{a}_6=-4\\ a_{10}=-\frac{1}{64}\end{array}$  

Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$a_{10}=a_6\cdot q^4\mid :q^4$  

$\frac{a_{10}}{q^4}=a_6$  

Wobec tego:

$a_6=\frac{-\frac{1}{64}}{q^4}=$  

$a_6=\left(-\frac{1}{64}\right)\cdot \frac{1}{q^4}$  

$a_6=-\frac{1}{64q^4}$  

Stąd:

$-4=-\frac{1}{64q^4}\mid :\left(-4\right)$  

$1=-\frac{1}{256q^4}\mid \cdot q^4$  

$q^4=\frac{1}{256}$  

Czyli:

$q=\frac{1}{4}\vee q=-\frac{1}{4}$  

Gdyby iloraz ciągu był ujemny, to ciąg ten nie byłby monotoniczny - odrzucamy więc wynik q=-1/4.

Ponownie korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i wyznaczamy pierwszy wyraz tego ciągu.

$a_6=a_1\cdot q^5\mid :q^5$  

$\frac{a_6}{q^5}=a_1$  

$a_1=\frac{-4}{{\left(\frac{1}{4}\right)}^5}$  

$a_1=-\frac{4}{4^{-5}}$  

$a_1=-4^{1-\left(-5\right)}$  

$a_1=-4^6$  

Wyznaczamy wzór ogólny tego ciągu.

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}=-4^6\cdot \frac{1}{4^{n-1}}=-4^6\cdot 4^{-n+1}=-4^{6-n+1}=-4^{7-n}$  

---

$b)$  

$a_2^2=25a_3^2$  

$a_2=5a_3\vee a_2=-5a_3$   

Dwa rozwiązania uwzględnimy na końcu rozwiązania.

Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$a_3=a_{2}q$  

Stąd:

$a_2=5a_{2}q\mid :a_2$  

$1=5q\mid :5$  

$q=\frac{1}{5}$  

Ponadto:

$a_1\cdot a_5=1\mid :a_5$  

$a_1=\frac{1}{a_5}$  

Ponownie korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i wyznaczamy pierwszy wyraz tego ciągu.

$a_1=\frac{1}{a_1\cdot q^4}\mid \cdot a_1$  

$a_1^2=\frac{1}{q^4}$   

$a_1=\frac{1}{q^2}$  

$a_1=\frac{1}{{\left(\frac{1}{5}\right)}^2}$  

$a_1=\frac{1}{\frac{1}{25}}$  

$a_1=25$  

Wyznaczamy wzór ogólny tego ciągu.

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}=25\cdot {\left(\frac{1}{5}\right)}^{n-1}=5^2\cdot 5^{-\left(n-1\right)}=5^2\cdot 5^{1-n}=5^{2+1-n}=5^{3-n}$  

$a_n=-5^{3-n}$   

---

$c)$  

$a_2^2+a_3^2=5$  

Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

${\left(a_{1}q\right)}^2+{\left(a_1{q}^2\right)}^2=5$  

$a_1^2{q}^2+a_1^2{q}^4=5$    

Ponadto:

$a_2\cdot a_4=1$  

$a_{1}q\cdot a_1{q}^3=1$  

$a_1^2\cdot q^4=1\mid :q^4$  

$a_1^2=\frac{1}{q^4}$  

Wobec tego:

$a_1^2{q}^2+a_1^2{q}^4=5$  

$\frac{1}{q^4}\cdot q^2+\frac{1}{q^4}\cdot q^4=5$  

$\frac{1}{q^2}+1=5\mid -1$    

$\frac{1}{q^2}=4$  

$q^2=\frac{1}{4}$  

Czyli:

$q=\frac{1}{2}\vee q=-\frac{1}{2}$  

Gdyby iloraz ciągu był ujemny, to ciąg ten nie byłby monotoniczny - odrzucamy więc wynik q=-1/4.

Ponownie korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i wyznaczamy pierwszy wyraz tego ciągu.

$a_1^2=\frac{1}{q^4}$  

$a_1=\frac{1}{q^2}\vee a_1=-\frac{1}{q^2}$  

$a_1=\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}\vee a_1=\frac{1}{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}$  

$a_1=\frac{1}{\frac{1}{4}}\vee a_1=\frac{1}{\frac{1}{4}}$  

$a_1=4$  

Wyznaczamy wzór ogólny tego ciągu.

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}=4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$     

$a_n=-4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$