$a)$  

$a_1=\frac{5}{2}$  

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{5}{2^{n+1}}}{\frac{5}{2^n}}=\frac{5}{2^n\cdot 2}\cdot \frac{2^n}{5}=\frac{1}{2}$  

$\text{Ciąg jest geometryczny bo q jest stałe. Ciąg jest malejący bo pierwszy wyraz jest większy do zera i q nalez˙y do (0,1)}.$   

$b)$  

$a_1=-\frac{1}{7}$  

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{{\left(-\frac{1}{7}\right)}^{n+1}}{{\left(-\frac{1}{7}\right)}^n}=-\frac{1}{7}$  

$\text{Ciąg jest geometryczny, bo q stałe. Ciąg nie jest monotoniczny, poniewaz˙ q jest mniejsze od zera.}$  

 

$c)$  

$a_1=-\frac{1}{3}\cdot 2=-\frac{2}{3}$  

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot 2^{n+1}}{\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot 2^n}=\frac{\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot 2^n\cdot 2}{\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot 2^n}=2$  

$\text{Ciąg jest geometryczny. Ciąg jest malejący, poniewaz˙ pierwszy wyraz jest ujemny a q jest większe od 1.}$  

 

$d)$  

$a_1=-2{\left(\frac{1}{3}\right)}^1=-\frac{2}{3}$  

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-2{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}}{-2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n}=\frac{-2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n\cdot \frac{1}{3}}{-2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n}=\frac{1}{3}$  

$\text{Ciąg jest geometryczny. Ciąg jest rosnący, bo pierwszy wyraz jest ujemny a iloraz nalez˙y do przedziału (0,1)}.$  

 

$e)$  

$a_1=6{\left(\sqrt{2}\right)}^{1-1}=6\cdot 1=6$  

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{6\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{n-1+1}}{6\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{n-1}}=\frac{6\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{n-1}\cdot \sqrt{2}}{6\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{n-1}}=\sqrt{2}$  

$\text{Ciąg jest geometryczny. Ciąg jest rosnący, bo pierwszy wyraz jest większy od zera, a iloraz większy od 1.}$  

 

$f)$  

$a_1=4^{2+1}=4^3=64$  

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4^{2\left(n+1\right)+1}}{4^{2n+1}}=\frac{4^{2n+3}}{4^{2n+1}}=\frac{4^{2n+1}\cdot 4^2}{4^{2n+1}}=4^2=16$  

$\text{Ciąg jest geometryczny. Ciąg jest rosnący, bo pierwszy wyraz jest dodatni oraz iloraz jest większy od 1.}$