$a)$

$\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}y=1\mid \cdot 4\\ -5x+y=3\end{array}$

$\{\begin{array}{l}-2x-y=4\\ -5x+y=3\end{array}\mid +$

$-7x=7\mid :\left(-7\right)$

$x=-1$

Podstawiamy do drugiego równania: 

$-5\cdot \left(-1\right)+y=3$

$5+y=3\mid -5$

$y=-2$

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-2\end{array}$

 

 

$b)$

$\{\begin{array}{l}3x-4y=12\\ -\frac{3}{2}x+2y=-6\mid \cdot 2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3x-4y=12\\ -3x+4y=-12\end{array}\mid +$

$0=0$

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań.

$3x-4y=12\mid +4y$

$3x=12+4y\mid :3$

$x=4+\frac{4}{3}y$

Spełnia go każda para liczb taka, że:

$\{\begin{array}{l}x=4+\frac{4}{3}y\\ y\in \mathbb{R}\end{array}$

 

 

$c)$

$\{\begin{array}{l}1.5x-2.5y=1\mid \cdot 4\\ -6x+10y=3\end{array}$

$\{\begin{array}{l}6x-10y=4\\ -6x+10y=3\end{array}\mid +$

$0=7$

Układ jest sprzeczny.

 

 

$d)$

$\{\begin{array}{l}3x-\frac{1}{3}y=2\mid \cdot 3\\ -9x+7y=12\end{array}$

$\{\begin{array}{l}9x-y=6\\ -9x+7y=12\end{array}\mid +$

$6y=18\mid :6$

$y=3$

Podstawiamy do pierwszego równania:

$3x-\frac{1}{3}\cdot 3=2$

$3x-1=2\mid +1$

$3x=3\mid :3$

$x=1$

 

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}$

 

 

$e)$

$\{\begin{array}{l}3x+0.25y=-1\mid \cdot \left(-8\right)\\ 5x+2y=11\end{array}$

$\{\begin{array}{l}-24x-2y=8\\ 5x+2y=11\end{array}\mid +$

$-19x=19\mid :\left(-19\right)$

$x=-1$

Podstawiamy do pierwszego równania: 

$3\cdot \left(-1\right)+0,25y=-1$

$-3+0,25y=-1\mid +3$

$0,25y=2\mid \cdot 4$

$y=8$

 

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=8\end{array}$

 

 

$f)$

$\{\begin{array}{l}\sqrt{2}x-5y=2.5\mid \cdot \left(-1\right)\\ \sqrt{2}x-7y=3.5\end{array}$

$\{\begin{array}{l}-\sqrt{2}x+5y=-2.5\\ \sqrt{2}x-7y=3.5\end{array}\mid +$

$-2y=1\mid :\left(-2\right)$

$y=-\frac{1}{2}$

Podstawiamy do pierwszego równania: 

$\sqrt{2}x-5\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=2,5$

$\sqrt{2}x+2,5=2,5\mid -2,5$

$\sqrt{2}x=0\mid :\sqrt{2}$

$x=0$

 

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-\frac{1}{2}\end{array}$