Matematyka

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych 4.64 gwiazdek na podstawie 11 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych

1
 Zadanie

2
 Zadanie

3
 Zadanie
4
 Zadanie

`a)\ S=11+13+...+97+99=?` 

 

Zauważmy, że ciąg wszystkich liczb nieparzystych dwucyfrowych tworzy ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym 11 i ostatnim wyrazie równym 99. Różnica tego ciągu to 2. 

Pozostaje jeszcze dowiedzieć się, ile wynosi n, czyli ile jest takich liczb.

Zauważmy, że w każdej dziesiątce jest 5 liczb nieparzystych:

11, 13, 15, 17, 19 - 5 liczb

21, 23, 25, 27, 29 - 5 liczb

.

.

.

91, 93, 95, 97, 99 - 5 liczb

 

Mamy 9 dziesiątek, w każdej jest 5 liczb, zatem wszystkich nieparzystych liczb dwucyfrowych jest 45.

 

`a_1=11` 

`a_45=99` 

`n=45` 

 

`S=(a_1+a_45)/2*45=` `(11+99)/2*45=110/2*45=55*45=2475` 

 

 

 

`b)\ S=12+15+...+96+99=?` 

 

 

Zauważmy, że ciąg wszystkich liczb naturalnych podzielnych przez 3 jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie równym 12, ostatnim wyrazie równym 99 i różnicy 3.

 Chcemy policzyć, ile jest takich liczb: 

12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39 - 10 liczb

42, 45, ..., 69 - 10 liczb

72, 75, ..., 99 - 10 liczb

 

Razem mamy więc 30 takich liczb

 

`a_1=12` 

`a_30=99` 

`n=30` 

 

`S=(a_1+a_30)/2*30=` `(12+99)/2*30=111/2*30=111*15=1665` 

 

 

`c)\ S=13+17+21+...+93+97=?` 

Ponownie mamy ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie 13, ostatnim wyrazie 97 i różnicy 4. 

Chcemy obliczyć, ile wyrazów ma ten ciąg: 

13, 17, 21, 25, 29 - 5 liczb

33, 37, 41, 45, 49 - 5 liczb

53, ..., 69 - 5 liczb

73, ..., 89 - 5 liczb

93, 97 - 2 liczby

Razem mamy 5+5+5+5+2=22 liczby

 

`a_1=13` 

`a_22=97` 

`n=22` 

`S=(a_1+a_22)/2*22=` `(13+97)/2*22=` `110/2*22=110*11=1210` 

 

DYSKUSJA
user profile image
Gość

0

2017-09-21
Dzięki za pomoc :):)
Informacje
Matematyka 2 Pazdro. Podręcznik do liceów i techników. Zakres podstawowy
Autorzy: Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab i Elżbieta Świda
Wydawnictwo: OE Pazdro
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Odejmowanie pisemne
  1. Zapisujemy odjemną, a pod nią odjemnik, wyrównując ich cyfry do prawej strony.

    odejmowanie1
     
  2. Odejmowanie prowadzimy od strony prawej do lewej. Najpierw odejmujemy jedności, w naszym przykładzie mamy 3 - 9. Jeśli jedności odjemnej są mniejsze od jedności odjemnika (a tak jest w naszym przykładzie), wtedy z dziesiątek przenosimy jedną (lub więcej) „dziesiątkę” do jedności i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie wygląda to następująco: od 3 nie możemy odjąć 9, więc przenosimy (pożyczamy) jedną dziesiątkę z siedmiu dziesiątek i otrzymujemy 13 – 9 = 4, czyli pod cyframi jedności zapisujemy 4, a nad cyframi dziesiątek zapisujemy ilość dziesiątek które nam zostały czyli 6 (bo od siedmiu dziesiątek pożyczyliśmy jedną, czyli zostało nam sześć dziesiątek).

    odejmowanie2
     
  3. Odejmujemy dziesiątki, a następnie zapisujemy wynik pod cyframi dziesiątek. Gdy dziesiątki odjemnej są mniejsze od dziesiątek odjemnika, z setek przenosimy jedną (lub więcej) „setkę” do dziesiątek i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie mamy: 6 – 6 = 0, czyli pod cyframi dziesiątek zapisujemy 0.

    odejmowanie2
     
  4. Odejmujemy setki, a następnie wynik zapisujemy pod cyframi setek. Gdy setki odjemnej są mniejsze od setek odjemnika, z tysięcy przenosimy jeden (lub więcej) „tysiąc” do setek i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie mamy: 2 – 1 = 1, czyli pod cyframi setek zapisujemy 1.

    odejmowanie3
     
  5. W rezultacie opisanego postępowania otrzymujemy wynik odejmowania pisemnego. W naszym przykładzie różnicą liczb 273 i 169 jest liczba 104.


Dla utrwalenia przeanalizujmy jeszcze jeden przykład odejmowania pisemnego.

Wykonamy pisemnie odejmowanie: 4071 - 956.

  1. Zapisujemy odjemną, a pod nią odjemnik.

    odejmowanie11
     
  2. Odejmujemy jedności: od 1 nie możemy odjąć 6, więc pożyczamy jedną dziesiątkę z siedmiu i otrzymujemy 11 – 6 = 5, czyli pod cyframi jedności zapisujemy 5, natomiast nad cyframi dziesiątek wpisujemy 6 (bo od siedmiu dziesiątek pożyczyliśmy jedną, czyli zostaje sześć dziesiątek).

    odejmowanie12
     
  3. Odejmujemy dziesiątki: 6 – 5 = 1, czyli pod cyframi dziesiątek wpisujemy 1.

    odejmowanie13
     
  4. Odejmujemy setki: od 0 nie możemy odjąć 9, więc pożyczamy jeden tysiąc i rozmieniamy go na 10 setek (bo jeden tysiąc to dziesięć setek) i otrzymujemy 10 – 9 = 1, czyli pod cyframi setek wpisujemy 1, a nad cyframi tysięcy wpisujemy 3, bo tyle tysięcy zostało.

    odejmowanie14
     
  5. Odejmujemy tysiące: w naszym przykładzie mamy 3 – 0 = 3 i wynik zapisujemy pod cyframi tysięcy.

    odejmowanie15
     
  6. Wynik naszego odejmowania: 4071 – 956 = 3115.

Obwód

Obwód wielokąta to suma długości boków danego wielokąta.

  1. Obwód prostokąta – dodajemy długości dwóch dłuższych boków i dwóch krótszych.

    Zatem prostokąt o wymiarach a i b ma obwód równy:
    Obwód prostokąta: $$Ob = 2•a+ 2•b$$.

    Przykład: Policzmy obwód prostokąta, którego boki mają długości 6 cm i 8 cm.

    ob_kwadrat

    $$Ob=2•8cm+2•6cm=16cm+12cm=28cm$$
     

  2. Obwód kwadratu – dodajemy długości czterech identycznych boków, zatem wystarczy pomnożyć długość boku przez cztery.

    Zatem kwadrat o boku długości a ma obwód równy:
    Obwód kwadratu: $$Ob = 4•a$$.

    Przykład: Policzmy obwód kwadratu o boku długości 12 cm.

    ob_prostokat

    $$Ob=4•12cm=48cm$$

 
Zobacz także
Udostępnij zadanie