Matematyka

Sprawdź, czy nieskończony ciąg jest monotoniczny 4.63 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Sprawdź, czy nieskończony ciąg jest monotoniczny

1
 Zadanie

2
 Zadanie
3
 Zadanie

W każdym z przykładów badamy znak różnicy (jeśli dodatnia, to ciąg jest rosnący, jeśli ujemna, to ciąg jest malejący, jeśli równa zero, to ciąg jest stały)

 

  

 

  

 

Zwróć uwagę, że 2n+3 i 2n+1 są liczbami nieparzystymi (2n jest liczbą parzystą, jeśli do liczby parzystej dodamy 1 albo 3, to otrzymamy nieparzystą). Minus jedynka podniesiona do potęgi nieparzystej daje minus 1, więc możemy zapisać: 

 

 

 

Różnica jest równa zero, zatem ciąg jest stały (zwróć uwagę, że wszystkie wyrazy tego ciągu są równe -1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pamiętamy, że n to liczba naturalna różna od 0, dlatego 2n+9 będzie dodatnie (uzasadnienie poniżej)

 

 

 

Skoro wartość 2n+9 jest większa od 11, to jest dodatnia, co oznacza, że ciąg jest rosnący. 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

Wartość wyrażenia 2n+1 jest dodatnia (bo n jest liczbą nauralną różną od zera), natomiast wartość pierwszego czynnika jest raz dodatnia, raz ujemna (w zależności od tego, czy wykładnik potęgi (n+1) jest liczbą parzystą, czy nieparzystą. Ciąg przyjmuje zatem na zmianę wartości dodatnie i ujemne, co oznacza, że nie jest ani rosnący, ani malejący.  

 

DYSKUSJA
klasa:
Informacje
Autorzy: Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab i Elżbieta Świda
Wydawnictwo: OE Pazdro
Rok wydania:
ISBN: 9788375940879
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Odejmowanie ułamków zwykłych
  1. Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach – odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$5/6-2/6= 3/6= {3÷3}/{6÷3}=1/2$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku odejmowania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości.
    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę.

  2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy odejmowanie.

    Przykład:

    • $$3/{10}- 1/5=3/{10}- {1•2}/{5•2}=3/{10}- 2/{10}=1/{10}$$
       
  3. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= {2•3+1}/3-{1•3+1}/3=7/3-4/3=3/3=1$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= 2 + 1/3- 1 - 1/3= 2 – 1 + 1/3- 1/3= 1 + 0 = 1$$
       
  4. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/2= {2•3+1}/3-{1•2+1}/2=7/3-3/2={7•2}/{3•2}-{3•3}/{2•3}={14}/6-9/6=5/6$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/2- 1 1/3= 2 + 1/2- 1 - 1/3= 2 - 1 + 1/2-1/3= 1 +{1•3}/{2•3}-{1•2}/{3•2}= 1 + 3/6- 2/6= 1 + 1/6= 1 1/6$$
 
Wzajemne położenie prostych

Dwie proste mogą się przecinać w punkcie, mogą być do siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Proste przecinające się w punkcie P – proste mające jeden punkt wspólny.

    prosteprzecinajace
     
  2. Proste prostopadłe – to proste przecinające się pod kątem prostym.

    Jeśli proste a i b są prostopadłe (inaczej mówiąc prosta a jest prostopadła do prostej b), zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a⊥b$$. Dwie proste prostopadłe tworzą cztery kąty proste

    prostekatprosty
     
  3. Proste równoległe – to proste nie mające punktów wspólnych lub pokrywające się.

    Jeżeli proste a i b są równoległe (inaczej mówiąc prosta a jest równoległa do prostej b), to zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a∥b$$.
     

    proste-rownlegle
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom