1 szkoły ponadpodstawowej

I liceum

I technikum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/31268/UwBIRS2eyy7VRp1aLz9HIg%3D%3D_54eff3e6772a436a66667cd83e56e0506e6d7092318bbf68bbd2546c2d95dd21.png" width="615" height="458"> Z sumy miar kątów w trójkącie w tym trójkącie określamy zależność: α+β+90o=180o α+β=180o−90o

Rozwiązanie 1

Sporządzamy dokładne rysunki opisując kąty w trójkątach utworzonych przez naniesienie dwusiecznych kątów:  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/31274/lD7wWmoFQHEciTCPXTkehw%3D%3D_441f1f8cf35d093b250a4a1619ac6001b2741506cc5d73d5b4f4601ac2a81e2f.png">   Układamy zależności wynikające z sumy miar kątów w czworokącie i trójkątach: I przypadek: Czworokąt 120°,120°,α,γ: 120o+120o+α+γ=360o 240o+α+γ=360o α+γ=360o−240o   α+γ=120o     Trójkąt γ,½ß,½ß: γ+21​β+21​β=180o γ+β=180o   Trójkąt 180°-γ,60°,½ß: 180o−γ+60o+21​β=180o 21​β+60o=γ

Sporządzamy rysunek (Informacja: w naszym rozwiązaniu długości boków nie pokrywają się z rzeczywistymi, bo jest to rysunek pomocniczy. Również na twoim egzaminie maturalnym proporcje długości nie będą oceniane, ważne jest jedynie prawidłowe podpisywanie długości według treści zadania). <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/31281/TdRUi39mEW4jG7BWADDxDg%3D%3D_161b8081adf1e09f8cdceb3a5995b845041d1a3c8e148b86debfe23ea31c9384.png" width="559" height="508"> Na podstawie twierdzenia o odcinkach stycznych: ∣AC1​∣=∣AB1​∣

a)  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/31283/pXNqdjTVJiRD4/N3bjQgZQ%3D%3D_7dc75b350bff8a9d1840135621ddac3657332f9f2f5893587a60275cae222a60.png" width="579" height="458"> Promień w tym przypadku stanowi jedną trzecią wysokości trójkąta. Obliczamy tą wysokość z twierdzenia Pitagorasa h2+12=22 h2+1=4 h2=3   i  h&gt;0 h=3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​dm Aby ją obliczyć, można również zastosować wzór poznany w gimnazjum na wysokość trójkąta równobocznego: h=2a3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​=223<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​=3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​dm

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/31290/YufgTg6UCoOshzTtUkpSNg%3D%3D_e9bb2e95868f3f4012b11cf420a510eb661cc451a6a87746f181b44618902aea.png" width="736" height="598">
a) Środek okręgu opisanego na trójkącie leży nad środkiem okręgu wpisanym w trójkąt. Oba środki okręgówleżą wewnątrz trójkąta.