Matematyka

Autorzy:Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab i Elżbieta Świda

Wydawnictwo:Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro

Rok wydania:2012

W trójkącie równoramiennym dwusieczne równych 4.64 gwiazdek na podstawie 11 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

W trójkącie równoramiennym dwusieczne równych

1
 Zadanie

2
 Zadanie

3
 Zadanie
4
 Zadanie
5
 Zadanie

Sporządzamy dokładne rysunki opisując kąty w trójkątach utworzonych przez naniesienie dwusiecznych kątów:

 

 

Układamy zależności wynikające z sumy miar kątów w czworokącie i trójkątach:

I przypadek:

Czworokąt 120°,120°,α,γ:

`120^o +120^o +alpha+gamma=360^o`

`240^o +alpha+gamma=360^o`

`alpha+gamma=360^o-240^o`

 `alpha+gamma=120^o`

 

 

Trójkąt γ,½ß,½ß:

`gamma+1/2beta+1/2beta=180^o`

`gamma+beta=180^o`

 

Trójkąt 180°-γ,60°,½ß:

`180^o-gamma+60^o +1/2beta=180^o`

`1/2beta+ 60^o=gamma`

 

Łączymy te zależności w układ równań:

`{( alpha+gamma=120^o),(gamma+beta=180^o),(1/2beta+60^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=120^o),(beta=180^o-gamma),(1/2beta+60^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=120^o),(beta=180^o-gamma),(1/2(180^o-gamma)+60^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=120^o),(beta=180^o-gamma),(90^o-1/2gamma+60^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=120^o),(beta=180^o-gamma),(150^o=3/2gamma):}`

`{( alpha+gamma=120^o),(beta=180^o-gamma),(150^o=3/2gamma \ \ \ \ |:3/2):}`

`{( alpha+100^o=120^o),(beta=180^o-100^o),(100^o=gamma):}`

`{( alpha=20^o),(beta=80^o),(gamma=100^o):}`

 

Kąty w tym trójkącie mają miarę:

`alpha=ul(ul(20^o))`

`beta=ul(ul(80^o))`

`beta=ul(ul(80^o))`

 

Układamy zależności wynikające z sumy miar kątów w czworokącie i trójkątach:

II przypadek:

Czworokąt 60°,60°,α,γ:

`60^o +60^o +alpha+gamma=360^o`

`120^o +alpha+gamma=360^o`

`alpha+gamma=240^o`

 

 

Trójkąt γ,½ß,½ß (tak samo jak w pierwszym przypadku):

`gamma+1/2beta+1/2beta=180^o`

`gamma+beta=180^o`

 

Trójkąt 180°-γ,120°,½ß:

`180^o-gamma+120^o +1/2beta=180^o`

`1/2beta +120^o=gamma`

 

Łączymy te zależności w układ równań:

`{( alpha+gamma=240^o),(gamma+beta=180^o),(1/2beta+120^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=240^o),(beta=180^o-gamma),(1/2beta+120^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=240^o),(beta=180^o-gamma),(1/2(180^o-gamma)+120^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=240^o),(beta=180^o-gamma),(90^o-1/2gamma+120^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=240^o),(beta=180^o-gamma),(210^o=3/2gamma):}`

`{( alpha+gamma=240^o),(beta=180^o-gamma),(150^o=3/2gamma \ \ \ \ |:3/2):}`

`{( alpha+140^o=240^o),(beta=140^o-100^o),(140^o=gamma):}`

`{( alpha=100^o),(beta=40^o),(gamma=140^o):}`

 

`alpha=ul(ul(100^o))`

`beta=ul(ul(40^o))`

`beta=ul(ul(40^o))`