III gimnazjum

Policzmy to razem 3

Do obliczenia funkcji sinus i cosinus potrzebujemy długość przeciwprostokątnej. Obliczamy ją z twierdzenia Pitagorasa.  12+(22<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​)2=x2 1+4⋅2=x2 9=x2       /<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ x=3   sinα=322<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​ cosα=31​

Rozwiązanie 1

a)  Korzystamy z zależności: cosβ=sin(90o−β)   sinα=cos19o

Do obliczenia pola tego trójkąta brakuje nam długości wysokości CD oraz długości odcinka BD.     Długość odcinka DB znajdujemy dzięki obliczeniu sinusa kąta DCB sin49o=35∣DB∣​ Wartość sinusa tego kąta odczytujemy z tablic trygonometrycznych: sin49o≈0,755 0,755=35∣DB∣​       /⋅35

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/31686/Vo9GRVDG1Hh8RFckpvylwA%3D%3D_205ba7a1889ec6c663f20994e4133c235a6289407ec4b11433ba0caf764f5135.png" width="498" height="566"> tgα=0,15 tgα=d9​ 0,15=d9​    ∣⋅d 0,15d=9

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/31687/BSDaK8RkWKFl4iFh0HgVcw%3D%3D_0887f7557ce08e794e556ca7e84db89d708222306e53a3e3d1301d4a228cc794.jpg" width="351" height="264"> Dla dowolnego trójkąta prostokątnego o bokach a,b, c i kącie ostrym α: a&gt;0 b&gt;0 tgα=ba​ ba​&gt;0

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej sin2α+cos2α=1   a) sin2α+(31​)2=1 sin2α+91​=1 sin2α=1−91​

W tym zadaniu pomocne będzie narysowanie sobie trójkąta prostokątnego, oznaczenie jego boków i kątów i określanie dla niego funkcji trygonometrycznych. Pomoże to w zauważeniu zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi dwóch kątów. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/31688/ANTAfTqDNF3Am2E8y1EHZQ%3D%3D_8636160c7d3f10a69e91c4c9268afde0197f3e69c0156187b3d71b0bfcd2110c.jpg">   a) Zauważamy, że dla dowolnego trójkąta prostokątnego: sinα=ca​ cosβ=ca​

sinα=76​   sin2α+cos2α=1