II gimnazjum

Policzmy to razem 2

Takim graniastosłupem może być sześcian o krawędzi 5 cm

Rozwiązanie 1

Na to pole składają się 3 ściany boczne będące prostokątami o wymiarach 2 cm x 3 cm oraz 2 podstawy będące trójkątami równobocznymi o boku 3 cm.    P=3⋅2⋅3+21⋅42323<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​=

Na to pole składają się 3 ściany boczne będące kwadratmi o boku 24 cm oraz 2 podstawy będące trójkątami równobocznymi o boku 24 cm.    P=3⋅24⋅24+21⋅422423<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​=    =72⋅24+2124⋅24123<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​=

Najpierw liczymy pola powierzchni kolejnych brył, następnie doliczamy jeszcze 50%.    a) 20 cm=0,2 m      15 cm=0,15 m      60 cm=0,6 m      P=2⋅(0,2⋅0,15+0,2⋅0,6+0,15⋅0,6)=         =2⋅(0,03+0,12+0,09)=

Powierzchnia boczna tego graniastosłupa to prostokąt o wymiarach 41 cm x 13 cm.    Pb​=41⋅13=41⋅(10+3)=

Zauważ, że podstawa jest trójkątem równoramiennym. Do obliczenia pola podstawy potrzebna nam będzie wysokość tego trójkąta, którą obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30956/Og1v3md267VH9vlT89oi0A%3D%3D_c15d296ce0bd14c3865f0936c2aeb442bfc15e5f74042ec63c7897690bb2a301.jpg" width="279" height="292">   52+x2=132   25+x2=169   x2=169−25=144

Graniastosłup prawidłowy czworokątny to taki, którego podstawą jest kwadrat.  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30958/iQMSytotvhVklDeJAZZbVw%3D%3D_e735e7895b6ad7cbfb25a24d2a6803990ccbb6e0b0d12b2610e1942ac7a3dc83.jpg"> Policzmy długość krawędzi bocznej (czyli wysokość graniastosłupa) korzystając z twierdzenia Pitagorasa: 82+x2=172 x2=172−82=(17−8)⋅(17+8)=9⋅25

Powierzchnia boczna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to 4 prostokąty, których jednym wymiarem jest długość krawędzi bocznej (h), a drugim wymiarem jest długość krawędzi podstawy (a), obrazuje to poniższy rysunek:  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30959/iwUK5OgFITucec%2BHd2mHDQ%3D%3D_16adeb8ebee1392618ac85e55c79027161f7a5e7b72a5d6136861624a68ee192.jpg">   Skoro cała powierzchnia boczna jest kwadratem o polu 196 cm², to możemy znaleźć długość boku tego kwadratu:   x2=196   x=196<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=14 cm