II gimnazjum

Policzmy to razem 2

W trójkącie równobocznym wysokości i symetralne boków pokrywają się.

Rozwiązanie 1

Zwróć uwagę, że jeśli R jest promieniem okręgu, to 2R jest średnicą tego okręgu (średnica okręgu to najdłuższa cięciwa okręgu, co oznacza, że w okręgu jest tylko jeden odcinek długości 2R).  Skoro jednym z boków trójkąta jest średnica okręgu, to ten trójkąt musi być trójkątem prostokątnym (bo kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym).  Zatem nasz trójkąt jest trójkątem prostokątnym, jak na rysunku poniżej: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30858/PJygubGoMSG7XKi/S/6ayg%3D%3D_db0394979d55c38b68a92634c59bb932a319e34aeb1110f93eba9feffc559af6.jpg">   Policzmy długość trzeciego boku tego trójkąta:  R2+□2=(2R)2 R2+□2=4R2   ∣−R2

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30859/59C6fLnKfQkLHE0SjOvIhg%3D%3D_75a93f7069020e15bd819d59492b89fb642eb141f9485391af455fcc73b91a38.jpg"> Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego to średnica okręgu (bo kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym) Policzmy długość przeciwprostokątnej trójkąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:  162+122=x2

Promienˊ okręgu opisanego na troˊjkącie roˊwnobocznym to 32​ wysokosˊci tego troˊjkąta.  Przypomnijmy, z˙e wysokosˊcˊ troˊjkąta roˊwnobocznego o boku a wyraz˙a się wzorem: 2a3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/43595/5KM9rndIsGcbVAK%2B4nHggg%3D%3D_12750fa6a551751bce111a3a1a85cf2d11f82842af46d5a7be3710a71364fcff.jpg" width="472" height="418">  Trójkąt ABC jest równoramienny, więc kąty przy wierzchołkach A i B mają równe miary.   ∣∠CAB∣=∣∠CBA∣=(180o−50o):2=130o:2=65o ∣∠ACB∣=50o

A. PRAWDA - ta odległość to promień tego okręgu
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/43600/poTaNPIa9APTbHkFz5aD6Q%3D%3D_9c732a9bdc1972c49be5f1c9e938f1bb5eb6467711d92e8b91ea955af7c92618.jpg">

∣∠AOC∣=360o−(84o+160o)=

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/43604/aUriaRNXX%2BxoWerWbnWsUg%3D%3D_c9420a4e57769b3a8ca371b4b8660cc4138f8ea7008cec3e2b5ca747030f9643.jpg"> Promienˊ okręgu opisanego na troˊjkącie roˊwnobocznym to 32​ wysokosˊci tego troˊjkąta.   Oznaczmy przez a długosˊcˊ boku troˊjkąta roˊwnobocznego, ktoˊry wpisano w okrąg o promieniu r.   Pamiętając, z˙e wysokosˊcˊ troˊjkąta roˊwnobocznego o boku a wyraz˙a się wzorem 2a3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​ moz˙emy zapisacˊ: