II gimnazjum

Policzmy to razem 2

Wiemy, że koło K1 wykonało dwa pełne obroty, czyli musimy policzyć dwukrotność obwodu:  2⋅L1​=2⋅2⋅π⋅6 cm=24π cm     Policzmy, jaką odległość "pokonuje" trzecie koło podczas jednego swojego obrotu:  L3​=2⋅π⋅3 cm=6π cm Policzmy teraz, ile pełnych obrotów wykonało trzecie koło podczas gdy pierwsze koło wykonało 2 obroty:  24π cm:6π cm=24π:6π=24:6=4 <section class="answer"><h4 class="answer-heading">Odpowiedź:</h4> Trzecie koło wykonało w tym czasie 4 obroty. </section>

Rozwiązanie 1

Warto sobie przypomnieć, że promień okręgu poprowadzony do punktu styczności, jest prostopadły do stycznej.  Korzystając z tego faktu, możemy zauważyć na rysunku trójkąty prostokątne.  Szuakane długości odcinków możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa.   <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30851/P472R1WHalrVbNd3wcFgDA%3D%3D_c87b521d1f844b223db6000ee7be472837b48377f333107983f88234bd4b1f2e.jpg">   52+122=∣BO1​∣2 25+144=∣BO1​∣2

Aby uzasadnić, że proste AE i BD są styczne do okręgu wystarczy pokazać, że CEA i CDB są proste (bo promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej).

Rysujemy sieczną oraz promienie ze środka okręgu do punktów przecięcia siecznej z okręgiem (punkty A i B).  Trójkąt OAB jest równoramienny, ponieważ odcinki OA i OB są równe (są to promienie okręgu).  Odległość środka okręgu od siecznej to zarazem wysokość trójkąta równoramiennego OAB (na rysunku oznaczona jako x).  W trójkącie równoramiennym wysokość dzieli podstawę na połowę. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30854/AcDlmECcTsSvk8Tz1E41Sw%3D%3D_041683635c84ae51491b6271cc054a02d3accb60462fd615168bd409b5bd3566.jpg"> Aby obliczyć długość odcinka x, możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa:  152+x2=172 x2=172−152