Obliczamy długości boków korzystając ze wzoru podanego w ramce na stronie 136. 

Następnie korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa sprawdzamy, czy trójkąt jest prostokątny. 

$a)$

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(2-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(-3-\left(-4\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(2+3\right)}^2+{\left(-3+4\right)}^2}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(0-2\right)}^2+{\left(6-\left(-3\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(6+3\right)}^2}=\sqrt{4+9^2}=\sqrt{4+81}=\sqrt{85}$

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(0-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(6-\left(-4\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(0+3\right)}^2+{\left(6+4\right)}^2}=\sqrt{3^2+{10}^2}=\sqrt{9+100}=\sqrt{109}$

 

${\sqrt{26}}^2+{\sqrt{85}}^2\stackrel{?}{=}{\sqrt{109}}^2$

$26+85\stackrel{?}{=}109nie$

 

Trójkąt ABC nie jest prostokątny gdyż nie spełnia odwrotnego twierdzenia do Pitagorasa.

 

 

$b)$

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(8-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(2-6\right)}^2}=\sqrt{{\left(8+2\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{{10}^2+16}=\sqrt{100+16}=\sqrt{116}$

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(4-8\right)}^2+{\left(-8-2\right)}^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-10\right)}^2}=\sqrt{16+100}=\sqrt{116}$

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(4-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(-8-6\right)}^2}=\sqrt{{\left(4+2\right)}^2+{\left(-14\right)}^2}=\sqrt{6^2+196}=\sqrt{36+196}=\sqrt{232}$

 

${\sqrt{116}}^2+{\sqrt{116}}^2\stackrel{?}{=}{\sqrt{232}}^2$

$116+116\stackrel{?}{=}232tak$

 

Trójkąt ABC jest prostokątny gdyż spełnia odwrotne twierdzenie do twierdzenia Pitagorasa.