III gimnazjum

Matematyka 2001

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30684/WEZVoWnd9Ri0%2BeCl/V8yVw%3D%3D_5fa306d3f78bfb2353d91f72812d5520056b643d0b35b363d75f8a6df7edc5e3.jpg" width="290" height="342"> Dla przypomnienia - długości boków w trójkącie o katach 90°, 60° i 30°: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22341/oYpmszt038tlbWOAz7Plg%3D%3D_032fc89220bce6c83d37bbabab70a48243742857de1e66e57d578c102bdbba6f.jpg"> x=5 cm   H=53<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ cm   - wysokość ostrosłupa b=2⋅5=10 cm   - krawędź boczna ostrosłupa     Pp​=10⋅10⋅21​=50 cm2   - obliczamy pole kwadratu jako połowę iloczynu przekątnych (kwadrat to też romb, dlatego można liczyć w ten sposób) V=31​⋅50⋅53<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=32503<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​ cm3

Rozwiązanie 1

4x, 9x - długości boków tego prostokąta   4x⋅9x=144 36x2=144   ∣:36 x2=144:36=36144​=1872​=28​=4

r=21 cm:2=10,5 cm

1 przypadek h=15 cm

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30687/w2T73im/hNURMNbZqDH/Pw%3D%3D_58f8e8d19519eacb48a8ab04d27023503072e724ef2e2a5b95c44791d885f5e8.jpg"> Bryła, która powstanie po obrocie to stożek, z którego u góry odcięto mniejszy stożek.  Duży stożek: - promień podstawy 6 cm - wysokość 2 cm + 4 cm = 6 cm   Mały stożek (odcięty): - promień podstawy 4 cm - wysokość 4 cm   Obliczamy objętość powstałej bryły (odejmując od objętości dużego stożka objętość małego stożka): V=31​⋅π⋅62⋅6−31​⋅π⋅42⋅4=      =31​π(62⋅6−42⋅4)=      =31​π(216−64)=

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30690/j7kNo%2Beaiu1PQONJ8MSQcg%3D%3D_33c9f950b43d3097a1744b24e6b2cb902f95cf0bf8b8ff97f5bfe11673e814bc.jpg"> Dla przypomnienia - długości boków w trójkącie o kątach 90°, 60° i 30°:   <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/29061/dZYZwwYwIa2X25KhCB37iQ%3D%3D_160010711d74d2c0360a4e2e92b1898b488895379d2ffd4b440148cdd3176990.jpg" width="248" height="165"> l=2b=18 cm    h=b=18 cm:2=9 cm

Skoro przekrój jest trójkątem równobocznym, to kąty przekroju mają 60°, możemy zapisać je na rysunku: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30691/gtTBsWTF5t%2BUprJRkqKuoQ%3D%3D_29c23b47482187d87ac19e870a7a02e0b3793c487231c2b26051385fd3a81bc1.jpg"> Obliczamy długość wysokości z twierdzenia Pitagorasa:  h2+(3,5)2=72   h2+(321​)2=49   h2+(27​)2=49   h2+449​=49

r=18 cm:2=9 cm   <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30693/uwizF4HA36y285LjgUocFg%3D%3D_7580130acabaff52aa093544cb0a4a1299dec38fac71dfb45ab699c6f6674b5c.jpg"> Zwróć uwagę, że trójkąt zamalowany na niebiesko jest równoramienny, więc: h=18 cm

Objętość stożka obliczamy jako trzecią część iloczynu pola podstawy i wysokości stożka.  Z kolei przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, którego podstawą jest średnica stożka, a wysokość to wysokość stożka.    r - promień podstawy (w cm) 2r - średnica podstawy (w cm) h - wysokość stożka (w cm)   {31​⋅π⋅r2⋅h=1000   ∣⋅321​⋅2r⋅h=300​     {π⋅r2⋅h=3000r⋅h=300​       Zamiast rh możemy wstawić do pierwszego równania 300: π⋅r2⋅h=3000   π⋅r⋅r⋅h​​=3000