III gimnazjum

Matematyka 2001

1 przypadek x - trzeci bok, który jest przyprostokątną trójkąta 52+x2=122

Rozwiązanie 1

x - długość jednej przyprostokątnej 3x - długość drugiej przyprostokątnej   x2+(3x)2=(205<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​)2

Przekątne w rombie dzielą się pod kątem prostym i w połowie.  W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest bok rombu, a przyprostokątnymi są połowy przekątnych rombu.    Oznaczmy przez e połowę długości drugiej przekątnej rombu, wtedy z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:  (21​⋅23<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​)2+e2=82   3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​2+e2=64

Najpierw  obliczmy długość boku rombu - w rombie przekątne dzielą sie pod kątem prostym na połowy, dlatego powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej będącej bokiem rombu i przyprostokątnych, które są połowami przekątnych rombu.  Możemy skorzystać z tw. Pitagorasa (a - długość boku rombu):  (21​⋅12)2+(21​⋅16)2=a2

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30584/f3KXq/5PL0a/7eiOeZLTlA%3D%3D_01f61d013173ed478a4ab1f74afc6ab30143951c054e0703416ec9b7011a5308.jpg"> Najpierw obliczmy wysokość h trójkąta zaznaczonego na niebiesko (korzystając z twierdzenia Pitagorasa):  0,252+h2=22   (41​)2+h2=4   161​+h2=4   ∣−161​

Korzystamy z faktu, że przekątna kwadratu o boku a (lub przeciwprostokątna trójkąta równoramiennego o boku a) ma długość a√2, odpowiednie odcinki dzielą się w połowie. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30585/4i2cn4PVSmJt5USUfDiizw%3D%3D_e19d08b11b9301da665dc7433e8877514e817e981a52f7645b1be136376537cb.jpg" width="549" height="482">                           <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30586/eNI3GvsL%2B7%2Be%2BWeJTCbaqQ%3D%3D_bdd39570dadb17f1287e1b1a2a392b3d9c875c6dde0df59adc4345f0e6248e70.jpg" width="410" height="406">     Układanka zaprojektowana przeze mnie na trójkącie równobocznym: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30587/2Qdl3V8pzeBrwpryrUHmtQ%3D%3D_65d15d52d7f2f830668ec47053342da7be0634427d3456026ddba92761e78acb.jpg" width="530" height="488"> Obwód każdej figury:  3⋅5 cm=15 cm