III gimnazjum

Matematyka z plusem 3

Każdy ostrosłup ma tyle samo krawędzi podstawy, co krawędzi bocznych, więc wszystkich krawędzi (podstawy i bocznych) jest razem dwa razy więcej niż krawędzi podstawy.&nbsp; Skoro ostrokąt ma łącznie 8 krawędzi, to ma 8:2=4 krawędzie podstawy i 4 krawędzie boczne.&nbsp; &nbsp; &nbsp; Pp​=3 cm⋅3 cm=9 cm2

a) Pp​=35⋅35=30⋅35+5⋅35=1050+175=1225 m2 &nbsp; V=31​⋅1225⋅21,6=1225⋅7,2=8820 m3

Musimy obliczyć pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. W tym celu musimy obliczyć długość wysokości ściany bocznej.  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/29046/6Q%2B3ax9pb/8KaQF7pQIG6Q%3D%3D_55571529a7f7c431e9e347d93eac174f4bd31b5513f294cd6b14ca7b4beb8731.jpg" width="332" height="422"> Najpierw obliczamy długość krawędzi bocznej (z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta zamalowanego na żółto): 12+32=x2   1+9=x2   x=10<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​

Ośmiościan foremny to byrła, której wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi (więc wszystkie krawędzie są równej długości). Powstała przez sklejenie ze sobą dwóch ostrosłupów prawidłowych czworokątnych (które mają taką samą krawędź podstawy i krawędź boczną).&nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/29048/jV7rk3kTWcmThDofV5jBfA%3D%3D_ca7d3de0f4e4717e0f232149a36f7ddbae769380b5c4df3b72100a1120a0b3f8.png" width="286" height="326"> Aby obliczyć objętość ośmiościanu foremnego wystarczy policzyć objętość jednego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego i wynik pomnożyć przez 2. Do obliczenia objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego potrzebna jest długość jego wysokości (krawędź podstawy już mamy - wynosi ona 1 dm).&nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/29049/VxfFQHqR9U1zKPLFqHVLuA%3D%3D_276b124e19c5e13ab831e50280d79458ecbd6ecc4132bd035cf2ce2250481d32.jpg" width="786" height="483"> Najpierw z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość wysokości ściany bocznej:&nbsp; 0,52+h2=12 &nbsp; 0,25+h2=1 &nbsp; h2=1−0,25=0,75=43​ &nbsp; h=43​<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='2.48em' viewBox='0 0 400000 2592' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M424,2478
c-1.3,-0.7,-38.5,-172,-111.5,-514c-73,-342,-109.8,-513.3,-110.5,-514
c0,-2,-10.7,14.3,-32,49c-4.7,7.3,-9.8,15.7,-15.5,25c-5.7,9.3,-9.8,16,-12.5,20
s-5,7,-5,7c-4,-3.3,-8.3,-7.7,-13,-13s-13,-13,-13,-13s76,-122,76,-122s77,-121,77,-121
s209,968,209,968c0,-2,84.7,-361.7,254,-1079c169.3,-717.3,254.7,-1077.7,256,-1081
l0 -0c4,-6.7,10,-10,18,-10 H400000
v40H1014.6
s-87.3,378.7,-272.6,1166c-185.3,787.3,-279.3,1182.3,-282,1185
c-2,6,-10,9,-24,9
c-8,0,-12,-0.7,-12,-2z M1001 80
h400000v40h-400000z'/></svg>​=4<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​=23<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​

Oznaczenia: r - promień podstawy H - wysokość walca &nbsp; a) r=4     H=4 b) r=2     H=7

Komentarze