Rysunki w zadaniu są tylko pomocnicze, dlatego czasem odcinek o długości 2 cm na rysunku jest dłuższy od odcinka długości 5 cm. 

Ostrosłup prawidłowy to taki, którego podstawą jest wielokąt foremny (np. kwadrat, trójkąt równoboczny, czy sześciokąt foremny)

 

$a)P_p=5\cdot 5=25c{m}^2$   

$V=\frac{1}{3}\cdot 25\cdot 2=\frac{50}{3}c{m}^3$  
 Do obliczenia pola powierzchni ostrosłupa potrzebna jest wysokość ściany bocznej. 

  

Z twierdzenia Pitagorasa dla zamalowanego trójkąta mamy: 

$2^2+{2,5}^2=h^2$  

$4+6,25=h^2$  

$10,25=h^2$  

$h=\sqrt{10,25}=\sqrt{10\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{41}{4}}=\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{41}}{2}$  

Pole całkowite to pole podstawy i 4 pola ścian bocznych (które są trójkątami)

$P_c=25+4\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{41}}{2}\cdot \frac{1}{2}=$   $25+5\sqrt{41}=5\left(5+\sqrt{41}\right)c{m}^2$  

 

 

$b)2dm=20cm$  

$P_p=4\cdot 4=16c{m}^2$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 20=\frac{320}{3}c{m}^3=106\frac{2}{3}c{m}^3$   

 

Z twierdzenia Pitagorasa: 

${20}^2+2^2=h^2$  

$400+4=h^2$  

$h^2=404$  

$h=\sqrt{404}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{101}=2\sqrt{101}$  

$P_c=16+4\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\sqrt{101}=16+16\sqrt{101}=16\left(1+\sqrt{101}\right)c{m}^2$  

 

 

$c)3dm=30cm$   

$P_p=\frac{{30}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{900\sqrt{3}}{4}=\frac{450\sqrt{3}}{2}=225\sqrt{3}c{m}^2$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 225\sqrt{3}\cdot 0,2=75\sqrt{3}\cdot 0,2=15\sqrt{3}c{m}^3$  

  Obliczamy wysokość podstawy (czyli wysokość trójkąta równobocznego o boku 30 cm):

$h=\frac{30\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}cm$  

$\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot 15\sqrt{3}=5\sqrt{3}cm$  

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa dla zamalowanego trójkąta: 

${0,2}^2+{\left(5\sqrt{3}\right)}^2=h_s^2$  
$0,04+25\cdot 3=h_s^2$  

$75,04=h_s^2$  

$h_s=\sqrt{75,04}=\sqrt{75\frac{4}{100}}=\sqrt{75\frac{1}{25}}=\sqrt{\frac{1876}{25}}=$   $\frac{\sqrt{1876}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt{469}}{5}=\frac{2\sqrt{469}}{5}$   - wysokość ściany bocznej

$P_c=225\sqrt{3}+3\cdot 30\cdot \frac{2\sqrt{469}}{5}\cdot \frac{1}{2}=\left(225\sqrt{3}+18\sqrt{469}\right)c{m}^3$   
  

 

 

$d)$  sześciokąt foremny o krawędzi a składa się z 6 trójkątów równobocznych o krawędzi a 

$P_p=6\cdot \frac{4^2\sqrt{3}}{4}=$   $6\cdot \frac{16\sqrt{3}}{4}=6\cdot 4\sqrt{3}=24\sqrt{3}c{m}^2$  

$3m=300cm$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 24\sqrt{3}\cdot 300=\frac{7200}{3}\sqrt{3}=2400\sqrt{3}c{m}^3$        

 

Obliczamy długość krawędzi ściany bocznej korzystając z twierdzenia Pitagorasa (będzie nam to potrzebne, aby obliczyć wysokość ściany bocznej):

 

 

${300}^2+4^2=x^2$  

$x^2=90016$  

$x=\sqrt{90016}$  

 

 

Obliczamy długość wysokości ściany bocznej: 

 

$2^2+h^2={\left(\sqrt{90016}\right)}^2$  

$4+h^2=90016$  

$h^2=90012$  

$h=\sqrt{90012}=\sqrt{4\cdot 22503}=2\sqrt{22503}$  

$P_c=24\sqrt{3}+6\cdot 4\cdot 2\sqrt{22503}\cdot \frac{1}{2}=$   $24\sqrt{3}+24\sqrt{22503}=24\sqrt{3}+24\sqrt{3\cdot 7501}=24\sqrt{3}\left(1+\sqrt{7501}\right)c{m}^2$