Wskaż na mapie i podaj nazwy obszarów... - Zadanie 3: Polska 7 - strona 44
Geografia
Polska 7 (Podręcznik, Wiking)
Wskaż na mapie i podaj nazwy obszarów... 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Szkoła podstawowa
  2. 7 Klasa
  3. Geografia

Bryza występuje nad Morzem Bałtyckim, natomiast wiatry fenowe wieją w Sudetach oraz w Karpatach. Regiony te zaznaczono na poniższej mapie:

 

Proces powstawania bryzy:

W ciągu dnia ląd nagrzewa się szybciej niż woda morska. Ogrzane powietrze nad lądem

Zadanie premium

Reszta rozwiązania tego zadania jest widoczna tylko dla użytkowników Premium dla klasy 7 szkoły podstawowej

Jedynie niewielka część zadań rozwiązanych przez naszych nauczycieli jest dostępna za darmo. Wykup konto Premium, aby uzyskać dostęp do całej zawartości serwisu 🙂
DYSKUSJA
klasa:
7 szkoły podstawowej
Informacje
Autorzy: Edward Dudek, Robert Wers, Jan Wójcik
Wydawnictwo: Wiking
Rok wydania:
ISBN: 9788388323997
Autor rozwiązania
user profile

Damian

33858

Nauczyciel

Wiedza
Stereometria
Stereometria jest ważnym i dość trudnym (wymaga jeszcze więcej wyobraźni niż geometria) działem matematyki. Na kursie podstawowym były przedstawione podstawowe wzory opisujące pole powierzchni i objętość niektórych figur przestrzennych, więc tutaj tylko przypomnę, że jeśli mamy do czynienia z graniastosłupem lub walcem, to jego objętość jest równa $V = P_p×H$, natomiast w przypadku ostrosłupa lub stożka musimy wynik mnożenia podzielić przez 3.

Zajmiemy się teraz czymś bardziej zaawansowanym - określaniem kształtu przekroju sfery, graniastosłupa i ostrosłupa płaszczyzną.

Każdy przekrój sfery płaszczyzną jest okręgiem. Można się o tym przekonać obliczając po prostu odległość między jakimś punktem przecięcia i środkiem sfery.

Im mniejsza jest odległość między środkiem sfery a płaszczyzną, tym większy okrąg otrzymujemy, co jest raczej zrozumiałe. Jeśli zaś nasza płaszczyzna zawiera środek (czyli odległość jest równa zeru) mamy do czynienia z okręgiem wielkim, którego promień jest równy promieniowi sfery.

2b

3b

1b

W przypadku graniasto- i ostrosłupów sprawa się komplikuje. W wyniku przecięcia możemy otrzymać praktycznie dowolny wielokąt.

Jeśli przecinamy taką bryłę płaszczyzną równoległą do podstawy, kształt przekroju jest taki sam, jak kształt podstawy.

Jeśli przecinamy to jakąś inną płaszczyzną, możemy uzyskać nieskończenie wiele różnych kształtów: niektóre będą trójkątami, inne czworokątami lub wielokątami.

Aby rozpoznać kształt najprościej po prostu naryswować rysunek w przestrzeni i zaznaczyć przerywaną kreską linie przecięcia. Jeśli wydaje nam się, że kształt może być np. kwadratem, wykonujemy odpowiednie rachunki jak na przykład obliczenie wszystkich boków, aby się o tym przekonać.

1


2

3a
Wzory viete'a

Wzory Viete'a to wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Mimo że nie służą one do wyznaczenia konkretnych rozwiązań, są niezwykle użyteczne w zadaniach wymagających sprawdzenia pewnych właściwości pierwiastków.

Zaczniemy od przykładowego zadania:

Udowodnij, że równanie $-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$ zawsze ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Metoda niekorzystająca ze wzorów Viete'a opierałaby się po prostu na obliczeniu delty i wyznaczeniu obu pierwiastków i późniejszym udowodnieniu, że oba z nich są większe od zera. Jest to jednak pracochłonne i dość skomplikowane - z pomocą przychodzą więc wzory Viete'a.

W ogólnej postaci wyglądają one w ten sposób:
$x_1 + x_2 + ... + x_n = -{a_{n-1} }/{a_n}$

$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_1x_n + x_2x_3 + x_2x_4 +...+x_{n-1}x_n = {a_{n-2} }/{a_n}$

$x_1x_2x_3x_4...x_{n-1}x_n= (-1)^n × {a_0}/{a_n}$

Poszczególne litery oznaczają:
$x_1$ do $x_n$ to pierwiastki wielomianu.
$a_n$ do $a_0$ to współczynniki przy kolejnych potęgach $x$-a.

Wzory te wyglądają bardzo skomplikowanie, ale wystarczy zobaczyć je w działaniu, aby od razu zrozumieć, na czym polegają.

Na przykład dla funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 +bx + c$ przyjmują one postać:
$x_1 + x_2 = -{b}/{a}$
$x_1x_2 = {c}/{a}$

Dla funkcji $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ wyglądają one natomiast tak:

$x_1 + x_2 + x_3 = -{b}/{a}$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = {c}/{a}$

$x_1x_2x_3 = -{d}/{a}$

Ważna uwaga: wzory Viete'a działają jedynie wtedy, gdy wielomian (stopnia $n$) ma $n$ pierwiastków. Nie muszą jednak być one różne.


Ćwiczenie:
Oblicz, ile wynosi współczynnik przy $x^2$ w wielomianie $W(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$.

Nie znając wzorów Viete'a trzeba by było wymnożyć wszystkie nawiasy i dodać odpowiednie składniki. Korzystając natomiast z nowo poznanej teorii możemy powiedzieć, że:
${a_2}/{a_4} = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 =$
$= 1×2 + 1×3 + 1×4 + 2×3 +2×4 + 3×4 = 35$

Zauważając jeszcze, ze $a_4 = 1$ możemy powiedzieć, że $a_2 = 35$.

Teraz, gdy znamy już teorię, możemy wrócić do zadania podanego na początku - równania $-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$.

Najpierw musimy upewnić się, że funkcja rzeczywiście ma dwa różne pierwiastki, tzn. że $△$ > $0$.

$△ = b^2 - 4ac = (2m^2+3)^2 - 4(- m^4 - 1)×(-1) = 12 m^2+5$
Jest to suma kwadratu i liczby dodatniej, więc na pewno jest dodatnia.

Teraz możemy przejść do wzorów Viete'a.

Współczynnik ${c}/{a}$ będzie dodatni wtedy, gdy oba pierwiastki będą tego samego znaku. Sprawdzamy:

${c}/{a} = {- m^4 - 1}/{-1} = m^4 + 1$ - jest to niewątpliwie liczba dodatnia, wiemy więc, że albo oba pierwiastki są dodanie, albo oba ujemne.

Sprawdźmy teraz znak drugiego ilorazu:

${-b}/{a} = {-2m^2-3}/{-1} = 2m^2+3$

On też jest dodatni: oznacza to, że suma pierwiastów jest liczbą dodatnią - a skoro tak, to nie może zajść sytuacja, w której oba będą ujemne. Wniosek jest prosty - oba pierwiastki są liczbami dodatnimi, co właśnie chcieliśmy udowodnić.

Jak widać metoda wykorzystująca wzory Viete'a nie wymagała obliczania pierwiastków i porównywania ich z zerem - wystarczyła informacja o współczynnikach.

Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom