Dane:

$d=0,74\text{μm}=0,74\cdot {10}^{-6}\text{m}$  

$l=20\text{cm}=0,2\text{m}$  

$x_1=38\text{cm}=0,38\text{m}$  

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$\lambda =?$  

Rozwiązanie:

Chcemy wyznaczyć długość fali padającej na płytę CD, która zachowuje się jak siatka dyfrakcyjna.

SIATKA DYFRAKCYJNA Wzór wiążący kąt, pod jakim obserwujemy prążek n-tego rzędu z długością fali padającego promieniowania i stałą siatki dyfrakcyjnej ma postać: $n\lambda =d\sin {\alpha }_n$ gdzie: $n$ - numer rzędu obserwowanego prążka, $\lambda$ - długość fali padającego promieniowania, $d$ - stała siatki dyfrakcyjnej, ${\alpha }_n$ - kąt, pod jakim obserwujemy prążek n-tego rzędu.

Z tego wynika, że sinus kąta padania dla prążka pierwszego rzędu możemy przedstawić zależnością:

$d\sin \alpha =1\cdot {\lambda }_1\mid :d$  

$\sin \alpha =\frac{{\lambda }_1}{d}$  

Z rysunku dołączonego do zadania możemy zauważyć, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{x_1}{l}$  

gdzie:

$x_1$ - odległość między prążkami pierwszego i zerowego rzędu,

$l$ - odległość płyty CD od ekranu.

Z własności funkcji trygonometrycznych wynika, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\text{ oraz }{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

Zatem długość padającej fali ma postać:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{x_1}{l}$  

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{x_1}{l}{\mid }^2$  

$\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{x_1^2}{l^2}$  

$\frac{{\sin }^2\alpha }{1-{\sin }^2\alpha }=\frac{x_1^2}{l^2}$  

$\frac{{\left(\frac{{\lambda }_1}{d}\right)}^2}{1-{\left(\frac{{\lambda }_1}{d}\right)}^2}=\frac{x_1^2}{l^2}$  

Wymnażamy na krzyż:

$l^2\frac{{\lambda }_1^2}{d^2}=x_1^2\left(1-\frac{{\lambda }_1^2}{d^2}\right)\mid \cdot d^2$  

$l^2{\lambda }_1^2=x_1^2{d}^2\left(1-\frac{{\lambda }_1^2}{d^2}\right)$  

$l^2{\lambda }_1^2=x_1^2{d}^2-x_1^2{\lambda }_1^2\mid +x_1^2{\lambda }_1^2$  

$x_1^2{\lambda }_1^2+l^2{\lambda }_1^2=x_1^2{d}^2$  

$\left(x_1^2+l^2\right){\lambda }_1^2=x_1^2{d}^2\mid :\left(x_1^2+l^2\right)$  

${\lambda }_1^2=\frac{x_1^2{d}^2}{x_1^2+l^2}\mid \sqrt{}$  

${\lambda }_1=\sqrt{\frac{x_1^2{d}^2}{x_1^2+l^2}}$  

${\lambda }_1=\frac{x_{1}d}{\sqrt{x_1^2+l^2}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\lambda }_1=\frac{0,38\text{m}\cdot 0,74\cdot {10}^{-6}\text{m}}{\sqrt{{\left(0,38\text{m}\right)}^2+{\left(0,2\text{m}\right)}^2}}=\frac{0,2812\cdot {10}^{-6}{\text{m}}^2}{\sqrt{0,1444{\text{m}}^2+0,04{\text{m}}^2}}=$  

$=\frac{2,812\cdot {10}^{-7}{\text{m}}^2}{\sqrt{0,1844{\text{m}}^2}}\approx \frac{2,812\cdot {10}^{-7}{\text{m}}^2}{0,4294\text{m}}\approx$  

$\approx 6,54867\cdot {10}^{-7}\text{m}=654,867\cdot {10}^{-9}\text{m}=654,867\text{nm}\approx 655\text{nm}$  

Odpowiedź: Długość fali światła użytego w doświadczeniu wynosi około $655\mathrm{nm}$. 

 

$\mathbf{b})$  

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

${\lambda }_1=655\text{nm}$  

Kolejne obliczone tą metodą długości fali wynosiły:

${\lambda }_2=662\text{nm}$  

${\lambda }_3=659\text{nm}$  

${\lambda }_4=650\text{nm}$  

${\lambda }_5=648\text{nm}$  

Obliczamy średnią długość fali metodą średniej arytmetycznej:

${\lambda }_{\text{sˊr}}=\frac{{\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3+{\lambda }_4+{\lambda }_5}{5}$  

${\lambda }_{\text{sˊr}}=\frac{655\text{nm}+662\text{nm}+659\text{nm}+650\text{nm}+648\text{nm}}{5}=$  

$=\frac{3274\text{nm}}{5}=654,8\text{nm}\approx 655\text{nm}$  

Korzystając z metody najmniej korzystnego przypadku, wyznaczamy niepewność pomiaru:

$\Delta \lambda =\frac{{\lambda }_{\text{max}}-{\lambda }_{\text{min}}}{2}$  

$\Delta \lambda =\frac{662\text{nm}-648\text{nm}}{2}=\frac{14\text{nm}}{2}=7\text{nm}$  

Wynik pomiaru wraz z niepewnością:

$\lambda =\left(655\pm 7\right)\text{nm}$