Dane:

$\lambda {}^{\prime }=470\text{nm}=470\cdot {10}^{-9}\text{m}=4,7\cdot {10}^{-7}\text{m}$  

$\lambda =760\text{nm}=760\cdot {10}^{-9}\text{m}=7,6\cdot {10}^{-7}\text{m}$  

$\alpha ={30}^{\circ }$  

$l=2,5\text{m}$  

$n=1$  

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$\alpha {}^{\prime }=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Wyznaczamy kąt ugięcia dla fali o barwie niebieskiej.

SIATKA DYFRAKCYJNA Wzór wiążący kąt, pod jakim obserwujemy prążek n-tego rzędu z długością fali padającego promieniowania i stałą siatki dyfrakcyjnej ma postać: $n\lambda =d\sin {\alpha }_n$ gdzie: $n$ - numer rzędu obserwowanego prążka, $\lambda$ - długość fali padającego promieniowania, $d$ - stała siatki dyfrakcyjnej, ${\alpha }_n$ - kąt, pod jakim obserwujemy prążek n-tego rzędu.

Z tego wynika, że im większa długość fali, tym większy kąt ugięcia dla danego numeru prążka interferencyjnego. Wówczas kąt ten dla barwy czerwonej będzie większy niż dla barwy niebieskiej. 

Dla barwy czerwonej otrzymujemy, że stała siatki ma postać:

$d\sin \alpha =n\lambda \mid :\sin \alpha$  

$d=\frac{n\lambda }{\sin \alpha }$  

Zatem sinus kąta ugięcia dla barwy niebieskiej wynosi:

$d\sin \alpha {}^{\prime }=n\lambda {}^{\prime }$  

$\frac{\cancel{n}\lambda }{\sin \alpha }\sin \alpha {}^{\prime }=\cancel{n}\lambda {}^{\prime }\mid \cdot \sin \alpha$  

$\lambda \sin \alpha {}^{\prime }=\lambda {}^{\prime }\sin \alpha \mid :\lambda$  

$\sin \alpha {}^{\prime }=\frac{\lambda {}^{\prime }}{\lambda }\sin \alpha$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\sin \alpha {}^{\prime }=\frac{470\text{nm}}{760\text{nm}}\cdot \sin {30}^{\circ }=\frac{47}{76}\cdot \frac{1}{2}=$  

$=\frac{47}{152}\approx 0,309$  

Zatem:

$\alpha {}^{\prime }\approx {18}^{\circ }$  

Odpowiedź: Barwa niebieska jest widoczna dla pierwszego rzędu pod kątem około $18^{\circ }$.

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$D=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Szukamy szerokość widma, która będzie różnicą pomiędzy odległościami powstających prążków. Wykonajmy szkic pomocniczy sytuacji opisanej w zadaniu:

gdzie:

$l$  - odległość pomiędzy ekranem, a siatką, 

$y$  - odległość pierwszego prążka od centrum powstałego widma dla barwy czerwonej, 

$y{}^{\prime }$  - odległość pierwszego prążka od centrum powstałego widma dla barwy niebieskiej, 

$\alpha$  - kąt załamania światła dla barwy czerwonej, 

$\alpha {}^{\prime }$  - kąt załamania światła dla barwy niebieskiej.  

Z rysunku wynika, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{l}$  

$\mathrm{tg}\alpha {}^{\prime }=\frac{y{}^{\prime }}{l}$  

Wówczas odległość prążka od centrum widma dla barwy czerwonej będzie miała postać:

$\frac{y}{l}=\mathrm{tg}\alpha \mid \cdot l$  

$y=l\mathrm{tg}\alpha$  

Natomiast odległość prążka od centrum widma dla barwy niebieskiej będzie miała postać: 

$\frac{y{}^{\prime }}{l}=\mathrm{tg}\alpha {}^{\prime }\mid \cdot l$  

$y{}^{\prime }=l\mathrm{tg}\alpha {}^{\prime }$  

Wówczas szerokość widma pierwszego rzędu będzie miało postać:

$D=y-y{}^{\prime }$  

$D=l\mathrm{tg}\alpha -l\mathrm{tg}\alpha {}^{\prime }$  

$D=l\left(\mathrm{tg}\alpha -\mathrm{tg}\alpha {}^{\prime }\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$D=2,5\text{m}\cdot \left(\mathrm{tg}{30}^{\circ }-\mathrm{tg}{18}^{\circ }\right)=2,5\text{m}\cdot \left(0,5774-0,3249\right)=$  

$=2,5\text{m}\cdot 0,2525=0,63125\text{m}\approx 0,63\text{m}$  

Odpowiedź: Szerokość oglądanego widma wynosi około $0,63\mathrm{m}$.

 

$\mathbf{c})$  

Widmo drugiego rzędu ( $n=2$ ) powstanie, jeżeli sinus kąta padania dla barwy czerwonej (szerszej) nie przekroczy 1, czyli:

$\sin {\alpha }_2\text{ < }1$  

Korzystając z równania siatki dyfrakcyjnej, możemy zapisać, że:

$d\sin {\alpha }_2=2\lambda$

Wiemy, że:

$d=\frac{n\lambda }{\sin \alpha }$  

$d=\frac{1\cdot \lambda }{\sin \alpha }$  

$d=\frac{\lambda }{\sin \alpha }$  

Wówczas:

$d\sin {\alpha }_2=2\lambda \mid :d$  

$\sin {\alpha }_2=\frac{2\lambda }{d}$  

$\sin {\alpha }_2=\frac{2\lambda }{\frac{\lambda }{\sin \alpha }}$  

$\sin {\alpha }_2=2\sin \alpha$  

$\sin {\alpha }_2=2\cdot \sin {30}^{\circ }=2\cdot 0,5=1$  

Sinus tego kata dla drugiego rzędu wynosi dokładnie 1, co może oznaczać, że na ekranie widać praktycznie całe widmo drugiego rzędu.