W kalorymetrze znajduje się...- Zadanie 7.1: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$m = 136 g = 0, 136 kg$

$T_{0} = 3 2^{\circ} C = 305 K$

$T_{1} = 0^{\circ} C = 273 K$

$T_{2} = 1 2^{\circ} C = 285 K$

$c_{w} = 4, 2 \frac{kJ}{kg \cdot K} = 4200 \frac{J}{kg \cdot K}$

$L = 334 \frac{kJ}{kg} = 334000 \frac{J}{kg}$

Szukane:

$m_{l \overset{o}{ˊ} d} = ?$

Rozwiązanie:

Szukamy masy lodu, która po dorzuceniu do wody spowodowała obniżenie jej temperatury do $1 2^{\circ} C$ . Na początku lód będzie pobierał ciepło od wody i zajdzie jego proces topnienia. Kiedy lód całkowicie się roztopi, zacznie się ogrzewać do temperatury końcowej ustalonej w kalorymetrze. Zapisujemy równanie bilansu cieplnego.

$Q_{pobrane} = Q_{oddane}$

gdzie:

$Q_{pobrane}$ - ciepło pobrane przez lód i powstałą z niego wodę,

$Q_{oddane}$ - ciepło oddane przez wodę początkowo znajdującą się w kalorymetrze.

Ciepło pobrane

$Q_{pobrane} = Q_{topnienie} + Q_{ogrzewanie}$

gdzie:

$Q_{topnienie}$ - ciepło pobrane przy topnieniu lodu,

$Q_{ogrzewanie}$ - ciepło pobrane przy ogrzewaniu roztopionego lodu,

Wyrażamy odpowiednie ciepła.

TOPNIENIE

Ciepło topnienia wyrażamy zależnością:

$L = \frac{Q}{m}$

gdzie:

$L$ - ciepło topnienia,

$Q$ - ilość ciepła potrzebna do zamiany ciała stałego w ciecz,

$m$ - masa substancji ulegającej przemianie fazowej.

Stąd:

$Q_{topnienie} = L m_{l \overset{o}{ˊ} d}$

gdzie:

$L$ - ciepło topnienia lodu,

$m_{l \overset{o}{ˊ} d}$ - masa lodu.

Po roztopieniu lodu powstała z niego woda ogrzewa się.

CIEPŁO A PRZYROST TEMPERATURY

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury ciała wyraża się wzorem:

$Q = m c Δ T$

gdzie:

$Q$ - ciepło oddane lub pobrane przez ciało,

$m$ - masa ciała,

$c$ - ciepło właściwe substancji, z której wykonano ciało,

$Δ T$ - zmiana temperatury ciała.

Woda powstała z lodu ogrzewa się od początkowej temperatury lodu do końcowej temperatury ustalonej w kalorymetrze.

$Δ T_{l \overset{o}{ˊ} d} = T_{2} - T_{1}$

gdzie:

$Δ T_{l \overset{o}{ˊ} d}$ - zmiana temperatury wody z lodu,

$T_{1}$ - temperatura topnienia lodu,

$T_{2}$ - temperatura końcowa wody.

Stąd:

$Q_{ogrzewanie} = m_{l \overset{o}{ˊ} d} c_{w} (T_{2} - T_{1})$

gdzie:

$c_{w}$ - ciepło właściwe wody.

Otrzymujemy:

$Q_{pobrane} = L m_{l \overset{o}{ˊ} d} + m_{l \overset{o}{ˊ} d} c_{w} (T_{2} - T_{1})$

Ciepło oddane

Woda początkowo wlana do kalorymetru oddaje ciepło i ochładza się. Zmianę jej temperatury wyrazimy jako:

$Δ T_{woda} = T_{0} - T_{2}$

gdzie:

$Δ T_{woda}$ - zmiana temperatury ciepłej wody,

$T_{0}$ - temperatura początkowa ciepłej wody,

Zatem ciepło oddane przez ciepłą wodę wyrazimy jako:

$Q_{oddane} = m c_{w} (T_{0} - T_{2})$

gdzie:

$m$ - masa ciepłej wody.

Bilans cieplny

Układamy równanie bilansu cieplnego.

$Q_{pobrane} = Q_{oddane}$

$L m_{l \overset{o}{ˊ} d} + m_{l \overset{o}{ˊ} d} c_{w} (T_{2} - T_{1}) = m c_{w} (T_{0} - T_{2})$

Przekształcamy równanie i wyznaczamy masę lodu.

$m_{l \overset{o}{ˊ} d} (L + c_{w} (T_{2} - T_{1})) = m c_{w} (T_{0} - T_{2})$

$m_{l \overset{o}{ˊ} d} = \frac{m c _{w} ( T _{0} - T _{2} )}{L + c _{w} ( T _{2} - T _{1} )}$

Podstawiamy dane liczbowe do wyprowadzonego wzoru.

$m_{l \overset{o}{ˊ} d} = \frac{0 , 136 kg \cdot 4200 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot ( 305 K - 285 K )}{334 000 \frac{J}{kg} + 4200 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot ( 285 K - 273 K )} = \frac{571 , 2 \frac{J}{K} \cdot 20 K}{334 000 \frac{J}{kg} + 4200 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 12 K} =$