Dane:

$\lambda =10\text{cm}=0,1\text{m}$

$A=1\text{cm}=0,01\text{m}$   

$v=54\frac{\text{cm}}{\text{s}}=0,54\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$t_0=0\text{s}$

$x_0=0\text{cm}=0\text{m}$

$y\left(0,0\right)=0\text{cm}=0\text{m}$

Szukane:

$y\left(x,t\right)=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest zapisane ogólnego wzoru na funkcję falową z odpowiednimi wartościami dla naszej fali.

FUNKCJA FALOWA Ogólna postać wzoru na funkcję falową jest dana jako: $y\left(x,t\right)=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)+{\phi }_0\right]$ gdzie: $y$ - wychylenie punktu z położenia równowagi, $A$ - amplituda fali, $\omega$ - częstość kołowa drgań, $t$ - czas, $x$ - położenie względem źródła fali, $v$ - wartość prędkości fali,  ${\phi }_0$ - faza ruchu.

Amplitudę fali znamy. Wartość prędkości fali też znamy. Wyznaczamy częstość drgań tej fali.

CZĘSTOŚĆ KOŁOWA DRGAŃ Częstość kołową drgań wyrażamy jako: $\omega =\frac{2\pi }{T}$ gdzie: $\omega$ - częstość kołowa drgań, $\pi$ - liczba π, $T$ - okres drgań.

Wiemy, że:

WARTOŚĆ PRĘDKOŚCI FALI Wartość prędkość fali wyrażamy jako: $v=\frac{\lambda }{T}$ gdzie: $v$ - wartość prędkości fali, $\lambda$ - długość fali, $T$ - okres drgań fali.

Stąd:

$T=\frac{\lambda }{v}$

Otrzymujemy:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

$\omega =\frac{2\pi }{\frac{\lambda }{v}}$

$\omega =\frac{2\pi v}{\lambda }$

Obliczamy wartość częstości drgań.

$\omega =\frac{2\cdot 3,14\cdot 0,54\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{0,1\mathrm{m}}\approx 33,9\frac{1}{\mathrm{s}}$

Podstawmy do wzoru znane wartości, pomijając jednostki podstawowe układu SI.

$y\left(x,t\right)=0,01\sin \left[33,9\left(t-\frac{x}{0,54}\right)+{\phi }_0\right]$   

$y\left(x,t\right)=0,01\sin \left[33,9\left(t-1,85x\right)+{\phi }_0\right]$   

Wyznaczmy fazę początkową tej fali, podstawiając do wzoru warunki początkowe:

▶ $x_0=0$

▶ $t_0=0$

▶ $y\left(0,0\right)=0$

Otrzymujemy:

$y\left(0,0\right)=0,01\sin \left[33,9\left(0-1,85\cdot 0\right)+{\phi }_0\right]$  

$0=0,01\sin \left({\phi }_0\right)$  

$\sin \left({\phi }_0\right)=0$  

${\phi }_0=0$  

Zatem ogólne równanie tej fali przyjmuje postać:

$y\left(x,t\right)=0,01\sin \left[33,9\left(t-1,85x\right)\right]$