Naszym zadaniem jest znalezienie okresu drgań drewnianej kulki zawieszonej na sprężynie o $n=9$ razy mniejszej gęstości niż metalowa kulka. 

Znamy okres drgań metalowej kulki zawieszonej na sprężynie: $T$. Wiemy, że drewniana kulka ma $n=9$ razy mniejszą gęstość niż metalowa kulka oraz, że obie kulki mają promienie o takiej samej długości. 

MASA NA SPRĘŻYNIE - OKRES DRGAŃ W przypadku ciała zawieszonego na sprężynie okres drgań możemy obliczyć ze wzoru: $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ gdzie: $T$ - okres drgań,  $\pi$ - liczba π, $m$ - masa zwieszona na sprężynie,  $k$ - współczynnik sprężystości sprężyny.

Zatem okres drgań metalowej kulki przedstawimy wzorem:

$T_{}=2\pi \sqrt{\frac{m_m}{k}}$

gdzie:

$m_m$ - masa metalowej kulki. 

Ponieważ kulki wykonane są z różnych materiałów to będą miały również inne gęstości, przy czym wiemy, że:

$d_m=n{d}_d$

gdzie:

$d_m$ - gęstość metalowej kulki, 

$d_d$ - gęstość drewnianej kulki. 

GĘSTOŚĆ Korzystając, z definicji gęstości wiemy, że: $d=\frac{m}{V}$ gdzie: $d$ - gęstość ciała,  $m$ - masa ciała,  $V$ - objętość ciała.

Ponieważ kulki mają takie same promienie to ich objętości również będą takie same. Wówczas masę z definicji gęstości możemy przedstawić ogólnym wzorem:

$\frac{m}{V}=d|\cdot V$

$m=dV$

Wówczas masa metalowej kulki ma postać:

$m_m=d_{m}V$

Natomiast masa drewnianej kulki ma postać:

$m_d=d_{d}V$

gdzie:

$m_d$ - masa drewnianej kulki. 

Okres drgań drewnianej kulki zawieszonej na sprężynie będzie miał postać:

$T_d=2\pi \sqrt{\frac{m_d}{k}}$

Zatem związek okresu drgań drewnianej kulki z okresem drgań metalowej kulki będzie miał postać:

$T_d=2\pi \sqrt{\frac{m_d}{k}}$

$T_d=2\pi \sqrt{\frac{d_{d}V}{k}}$

Rozszerzamy pod pierwiastkiem ułamek o $1=\frac{n}{n}$:

$T_d=2\pi \sqrt{\frac{n{d}_{d}V}{nk}}$

Ponieważ $d_m=n{d}_d$ to:

$T_d=2\pi \sqrt{\frac{d_{m}V}{nk}}$

$T_d=2\pi \sqrt{\frac{m_m}{nk}}$

$T_d=2\pi \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot \sqrt{\frac{m_k}{k}}$

$T_d=\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot 2\pi \sqrt{\frac{m_m}{k}}$

Ponieważ $T=2\pi \sqrt{\frac{m_m}{k}}$ to:

$T_d=\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot T$

Z faktu, że $n=9$ wynika:

$T_d=\frac{1}{\sqrt{9}}T$

$T_d=\frac{1}{3}T$

Okres drgań drewnianej kulki na sprężynie jest trzy razy mniejszy od okresu drgań wahadła z metalowa kulką.