$\mathbf{a})$

Naszym celem jest wyznaczenie częstotliwości drgań amortyzatora. Z polecenia znamy równanie opisujące położenie amortyzatora i możemy z niego odczytać potrzebne wielkości. Staje się to jasne, gdy porównamy to równanie z ogólnym wzorem opisującym położenie ciała w ruchu drgającym. Z treści zadania mamy:

$x=0,02\sin \left(4\pi t\right)$

Natomiast ogólny wzór ma postać:

RUCH DRGAJĄCY - POŁOŻENIE Wychylenie ciała w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością: $x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$ gdzie:  $x$ - wychylenie ciała po zadanym czasie,  $t$ - czas,  $A$ - amplituda,   $\omega$ - częstość drgań,   $\phi$ - faza ruchu.

Gdy porównamy ze sobą te dwa równania, otrzymujemy:

$A=0,02\text{m}$

$\omega =4\pi \frac{1}{\text{s}}$

Wiemy, że częstość drgań jest związana z częstotliwością zależnością:

CZĘSTOŚĆ KOŁOWA DRGAŃ Częstość kołową drgań wyrażamy jako: $\omega =2\pi f$ gdzie: $\omega$ - częstość kołowa drgań, $\pi$ - liczba π, $f$ - częstotliwość drgań.

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na częstotliwość drgań:

$\omega =2\pi f|:2\pi$

$\frac{\omega }{2\pi }=f$

$f=\frac{\omega }{2\pi }$

Podstawiamy dane do wzoru:

$f=\frac{4\pi \frac{1}{\text{s}}}{2\pi }=\frac{4\cancel{\pi }\frac{1}{\text{s}}}{2\cancel{\pi }}=\frac{4}{2}\text{Hz}=2\text{Hz}$

Odpowiedź: Częstotliwość drgań wynosi $2\text{Hz}$.

 

$\mathbf{b})$

Dane:

$v=0,04\pi \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Szukane:

$|a|=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie bezwzględnej wartości przyspieszenia amortyzatorów. Znamy wartość szybkości w interesującej nas chwili, więc możemy najpierw wyznaczyć moment czasu, w którym amortyzator ma tę szybkość. Znając tę chwilę czasu, będziemy mogli obliczyć przyspieszenie w tym momencie.

Wiemy, że prędkość w ruchu drgającym opisuje wzór:

RUCH DRGAJĄCY - WARTOŚĆ PRĘDKOŚCI Wartość prędkości ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością: $v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t+\phi \right)$ gdzie:  $v$ - wartość prędkości ciała po zadanym czasie,  $t$ - czas,  $A$ - amplituda,   $\omega$ - częstość drgań,   $\phi$ - faza ruchu.

Z pierwszego podpunktu wiemy, że faza początkowa wynosi $0$, zatem możemy zapisać:

$v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t\right)$

Możemy teraz podstawić wartości liczbowe (z pominięciem podstawowych jednostek układu SI):

$v\left(t\right)=0,02\cdot 4\cdot \pi \cdot \cos \left(4\pi t\right)=0,08\pi \cos \left(4\pi t\right)$

Porównujemy otrzymany wzór ze wzorem podanym w zadaniu:

$0,04\pi =0,08\pi \cos \left(4\pi t\right)$

Powyższe równanie możemy uprościć:

$0,04\pi =0,08\pi \cos \left(4\pi t\right)|:0,04\pi$

$1=2\cos \left(4\pi t\right)\mid :2$

$\cos \left(4\pi t\right)=\frac{1}{2}$

Wiemy, że cosinus przyjmuje tę wartość dla kąta $\frac{\pi }{4}$, więc możemy zapisać:

$4\pi t=\frac{\pi }{3}\mid :\pi$

$4t=\frac{1}{3}\mid :4$

$t=\frac{1}{12}s$

Wiemy, że wartość przyspieszenia jest dana wzorem:

RUCH DRGAJĄCY - WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA Wartość przyspieszenia ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością: $a\left(t\right)=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t+\phi \right)$ gdzie:  $a$ - wartość przyspieszenia ciała po zadanym czasie,  $t$ - czas,  $A$ - amplituda,   $\omega$ - częstość drgań,   $\phi$ - faza ruchu.

Tak jak wcześniej przyjmujemy zerową fazę, więc możemy zapisać:

$a\left(t\right)=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t\right)$

Szukamy wartości bezwzględniej z przyspieszenia, zatem możemy zapisać:

$\left|a\left(t\right)\right|=\left|-A{\omega }^2\sin \left(\omega t\right)\right|$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru (z pominięciem podstawowych jednostek układu SI):

$\left|a\left(t\right)\right|=\left|-0,02\cdot {\left(4\cdot 3,14\right)}^2\cdot \sin \left(4\pi \cdot \frac{1}{12}\right)\right|=$

$=\left|-0,02\cdot {\left(12,56\right)}^2\cdot \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)\right|=$

$=\left|-0,02\cdot 157,7536\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right|=$

$=\left|-2,7324\right|=2,7324\approx 2,73$

Wówczas:

$\left|a\right|=2,73\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Odpowiedź: Gdy prędkość amortyzatorów wynosi $0,04\pi \frac{\text{m}}{{\text{s}}^{}}$, to ich przyspieszenie ma bezwzględną wartość $2,73\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.