Dane:

$h=0,3\text{m}$  

$s=1,2\text{m}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$v_{\text{pełny}}=?$

$v_{\text{pusty}}=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości prędkości liniowych walców po stoczeniu się z równi. Mamy do czynienia z walce pełnym oraz walcem pustym. Walce staczają się z równi bez poślizgu. Zacznijmy od wyznaczenia ogólnej zależności na wartość prędkości bryły sztywnej staczającej się bez poślizgu z równi pochyłej. 

gdzie:

$h$ - wysokość równi, 

$s$ - długość równi (droga pokonywana przez walec), 

$R$ - promień walca. 

Na szczycie równi walec posiada pewną energię potencjalną związaną z jego położeniem nad poziomem przyjętym za podstawowy. Ponieważ na szczycie równi walec się nie porusza to wówczas jego energie kinetyczne (ruchu postępowego i obrotowego) są zerowe. Energię potencjalną walca rozważamy względem jego wysokości nad podłożem. 

Otrzymujemy wówczas równania:

$E_{\text{p}}=mgh$

$E_{\text{k.p}}=0$

$E_{\text{k.o}}=0$

gdzie:

$E_{\text{p}}$ - energia potencjalna walca na szczycie równi, 

$m$ - masa walca,

$g$ - wartość przyspieszenia liniowego, 

$h$ - wysokość walca nad podłożem,

$E_{\text{k.p}}$ - energia kinetyczna walca w jego ruchu postępowym, 

$E_{\text{k.o}}$ - energia kinetyczna walca w jego ruchu obrotowym.

Walec stacza się do podnóża równi. Wówczas jego wysokość nad poziomem przyjętym za zerowy jest zerowa, czyli energia potencjalna wówczas również jest zerowa. W czasie ruchu walec nabył pewną szybkość, czyli u podnóża równi energia kinetyczna walca będzie niezerowa. Otrzymujemy wówczas zależności:

$E_{\text{p.0}}=0$

$E_{\text{k.p.0}}=\frac{1}{2}m{v}^2$

$E_{\text{k.o.0}}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

gdzie:

$E_{\text{p.0}}$ - energia potencjalna walca u podnóża równi,

$E_{\text{k.p.0}}$ - energia kinetyczna ruchu postępowego walca u podnóża równi, 

$v$ - szybkość liniowa jaką osiągnął walec u podnóża równi, 

$I$ - moment bezwładności walca, 

$\omega$ - szybkość kątowa osiągnięta przez walec u podnóża równi. 

SZYBKOŚĆ KĄTOWA A LINIOWA Zależność szybkości kątowej od szybkości liniowej przedstawiamy wzorem: $\omega =\frac{v}{R}$ gdzie: $\omega$ - szybkość kątowa,  $v$ - szybkość liniowa,  $R$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej możemy zapisać równanie, z którego wyznaczymy szybkość liniową dowolnego walca u podnóża równi:

$E_{\text{p.0}}+E_{\text{k.p.0}}+E_{\text{k.o.0}}=E_{\text{p}}+E_{\text{k.p}}+E_{\text{k.o}}$

$0+\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2=mgh+0+0$

$\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\left(\frac{v}{R}\right)}^2=mgh|\cdot 2$

$m{v}^2+I\frac{v^2}{R^2}=2mgh$

$\left(m+\frac{I}{R^2}\right)v^2=2mgh|:\left(m+\frac{I}{R^2}\right)$

$v^2=\frac{2mgh}{m+\frac{I}{R^2}}|\sqrt{}$

$v=\sqrt{\frac{2mgh}{m+\frac{I}{R^2}}}$

Wyznaczamy wartość prędkości liniowej pełnego walca u postawy równi.

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - WALEC Moment bezwładności jednorodnego walca obracającego się względem swojej osi symetrii ma postać: $I=\frac{1}{2}m{r}^2$ gdzie: $I$ - moment bezwładności walca, $m$ - masa walca,  $r$ - promień walca.

Dla naszego przypadku mamy:

$I_{\text{pełny}}=\frac{1}{2}{m}_{\text{pełny}}{R}^2$

gdzie:

$I_{\text{pełny}}$ - moment bezwładności pełnego walca, 

$m_{\text{pełny}}$ - masa pełnego walca, 

$R$ - promień walca. 

Zatem wartość prędkości dla tego walca wynosi:

$v_{\text{pełny}}=\sqrt{\frac{2m_{\text{pełny}}gh}{m_{\text{pełny}}+\frac{I_{\text{pełny}}}{R^2}}}$

$v_{\text{pełny}}=\sqrt{\frac{2m_{\text{pełny}}gh}{m_{\text{pełny}}+\frac{\frac{1}{2}{m}_{\text{pełny}}\cancel{R^2}}{\cancel{R^2}}}}$

$v_{\text{pełny}}=\sqrt{\frac{2m_{\text{pełny}}gh}{m_{\text{pełny}}+\frac{1}{2}{m}_{\text{pełny}}}}$

$v_{\text{pełny}}=\sqrt{\frac{2m_{\text{pełny}}gh}{\frac{2}{2}{m}_{\text{pełny}}+\frac{1}{2}{m}_{\text{pełny}}}}$

$v_{\text{pełny}}=\sqrt{\frac{2\cancel{m_{\text{pełny}}}gh}{\frac{3}{2}\cancel{m_{\text{pełny}}}}}$

$v_{\text{pełny}}=\sqrt{\frac{4}{3}gh}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{\text{pełny}}=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,3\text{m}}=$

$=\sqrt{\frac{11,772}{3}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=\sqrt{3,924\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx$

$\approx 1,98090888\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 1,98\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Wyznaczamy wartość prędkości liniowej pustego walca u postawy równi.

Jeżeli z równi stacza się pusty walec to możemy go potraktować jako obręcz obracającą się wokół własnej osi.

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - OBRĘCZ Moment bezwładności obręczy obracającej się względem swojej osi symetrii ma postać: $I=m{r}^2$ gdzie: $I$ - moment bezwładności obręczy, $m$ - masa obręczy,  $r$ - promień.

Z treści zadania wiemy, że walce wyglądały identycznie, czyli ich promienie były takie same. Wówczas wartość momentu bezwładności pustego walca będzie wynosiła:

$I_{\text{pusty}}=m_{\text{pusty}}{R}^2$

gdzie:

$I_{\text{pusty}}$ - moment bezwładności pustego walca, 

$m_{\text{pusty}}$ - masa pustego walca, 

$R$ - promień walca.

Zatem wartość prędkości dla tego walca wynosi:

$v_{\text{pusty}}=\sqrt{\frac{2m_{\text{pusty}}gh}{m_{\text{pusty}}+\frac{I_{\text{pusty}}}{R^2}}}$

$v_{\text{pusty}}=\sqrt{\frac{2m_{\text{pusty}}gh}{m_{\text{pusty}}+\frac{m_{\text{pusty}}\cancel{R^2}}{\cancel{R^2}}}}$

$v_{\text{pusty}}=\sqrt{\frac{2m_{\text{pusty}}gh}{m_{\text{pusty}}+m_{\text{pusty}}}}$

$v_{\text{pusty}}=\sqrt{\frac{\cancel{2m_{\text{pusty}}}gh}{\cancel{2m_{\text{pusty}}}}}$

$v_{\text{pusty}}=\sqrt{gh}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{\text{pusty}}=\sqrt{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,3\text{m}}=\sqrt{2,943\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx$

$\approx 1,7155\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 1,72\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Wartość prędkości liniowej jaką osiągnie pełny walec po stoczeni się z równi wynosi około $1,98\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Wartość prędkości liniowej pustego walca będzie wynosiła około $1,72\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$v=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest porównanie prędkości otrzymanych w poprzednich podpunktach z prędkością ciała zsuwającego się z równi bez tarcia. Skoro ciało zsuwa się bez tarcia to możemy podobnie rozważyć energie tego ciała na równi. W tym przypadku nie będziemy mieli energii kinetycznej wynikającej z ruchu obrotowego tego ciał. 

Na szczycie równi ciało ma energię potencjalną oraz zerową energię kinetyczną:

$E_p=mgh$

$E_k=0$

U podnóża równi ciało ma zerową energię potencjalną oraz maksymalną energię kinetyczną:

$E_{p.0}=0$

$E_{k.0}=\frac{1}{2}m{v}^2$

Wówczas zgodnie z zasadą zachowania energii otrzymujemy, że wartość prędkości tego ciała u podnóża równi możemy przedstawić wzorem:

$E_{p.0}+E_{k.0}=E_p+E_k$

$0+\frac{1}{2}m{v}^2=mgh+0|\cdot 2$

$\cancel{m}{v}^2=2\cancel{m}gh|\sqrt{}$

$v=\sqrt{2gh}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\sqrt{2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,3\text{m}}=\sqrt{5,886\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx$

$\approx 2,42610799\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 2,43\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Ciało osiągnęło prędkość o większej wartości, równej około $2,43\frac{\text{m}}{\text{s}}$, niż w przypadku ruchu obrotowego walca. Stało się tak, ponieważ energia potencjalna ciała została zamieniona jedynie na energię kinetyczną ruchu postępowego ciała (ciało nie obracało się). 

 

$\mathbf{c})$  

Szukane:

$t_{\text{pełny}}=?$

$t_{\text{pusty}}=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie czasów ruchu każdego z walców. Każdy z walców na równi pokonuje taką samą drogę odpowiadającą długości równi. Początkowo każdy z walców jest również nieruchomy.

DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONYM Drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym, przedstawiamy za pomocą wzoru: $s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ gdzie: $s$ - droga przebyta przez ciało, $v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała,  $a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało,  $t$ - czas ruchu ciała.

Gdy szybkość początkowa jest zerowa to otrzymujemy:

$s=\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$s$ - droga, 

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego, 

$t$ - czas ruchu. 

Korzystając ze wzoru na drogę zapiszmy zależność, z której możemy wyznaczyć wartość przyspieszenia liniowego walca:

$\frac{1}{2}a{t}^2=s|\cdot 2$

$a{t}^2=2s|:t^2$

$a=\frac{2s}{t^2}$

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA Korzystając z definicji przyspieszenia, wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ gdzie: $a$ - wartość przyspieszenia, $\Delta v$ - zmiana szybkości ciała, $\Delta t$ - czas, w jakim zmienia się szybkość.

W naszym przypadku zmiana szybkości odpowiada szybkości walca u podnóża równi, a zmiana czasu odpowiada czasowi ruchu walca. Wówczas czas ruchu walca dla ogólnego przypadku będzie miał postać:

$\frac{v}{t}=a$

$\frac{v}{t}=\frac{2s}{t^2}|\cdot t^2$

$\frac{v{t}^{\cancel{2}}}{\cancel{t}}=2s$

$vt=2s|:v$

$t=\frac{2s}{v}$

Wyznaczamy czas ruchu pełnego walca.

Z podpunktu a) wiemy, że jeżeli mamy do czynienia z pełnym walcem to wartość jego prędkości liniowej ma postać:

$v_{\text{pełny}}=\sqrt{\frac{4}{3}gh}$

Wówczas czas staczania się tego walca będzie wynosił:

$t_{\text{pełny}}=\frac{2s}{v_{\text{pełny}}}$

$t_{\text{pełny}}=\frac{2s}{\sqrt{\frac{4}{3}gh}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t_{\text{pełny}}=\frac{2\cdot 1,2\text{m}}{\sqrt{\frac{4}{3}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,3\text{m}}}=\frac{2,4\text{m}}{\sqrt{3,924\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}}\approx$

$\approx \frac{2,4\text{m}}{1,9809\frac{\text{m}}{\text{s}}}\approx 1,21157\text{s}\approx 1,2\text{s}$

Wyznaczamy czas ruchu pustego walca.

 Z podpunktu a) wiemy, że jeżeli mamy do czynienia z pełnym walcem to wartość jego prędkości liniowej ma postać:

$v_{\text{pusty}}=\sqrt{gh}$

Wówczas czas staczania się tego walca będzie wynosił:

$t_{\text{pusty}}=\frac{2s}{v_{\text{pusty}}}$

$t_{\text{pusty}}=\frac{2s}{\sqrt{gh}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t_{\text{pusty}}=\frac{2\cdot 1,2\text{m}}{\sqrt{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,3\text{m}}}=\frac{2,4\text{m}}{\sqrt{2,943\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}}\approx$

$\approx \frac{2,4\text{m}}{1,7155\frac{\text{m}}{\text{s}}}\approx 1,399009\text{s}\approx 1,4\text{s}$

Odpowiedź: Czas staczania się pełnego walca wynosił około $1,2\text{s}$. Natomiast czas staczania się pustego walca wynosił około $1,4\text{s}$.