Dane:

$d=125\text{mm}=0,125\text{m}$  

$m=0,2\text{kg}$  

$n=11000$

$t_0=1\text{min}=60\text{s}$

$M=8,83\text{N}\cdot \text{m}$

Szukane:

$N=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie ile obrotów wykonała tarcza szlifierki do chwili zatrzymania się. Tarcza szlifierki zatrzymuje się, dlatego rozważamy jej ruch opóźniony. Liczbę obrotów wykonanych przez tarczę szlifierki możemy przedstawić jako iloraz całkowitego kąta zakreślonego przez tarczę w czasie hamowania do miary kąta pełnego, czyli $360^{\circ }$: 

$N=\frac{\alpha }{2\pi }$

gdzie:

$N$ - liczba obrotów wykonana przez tarczę szlifierki,

$\alpha$ - kąt zakreślony przez tarczą szlifierki w czasie hamowania,

$2\pi$ - miara kąta pełnego (w radianach).

Musimy w takim wypadku wyznaczyć kąt zakreślony przez tarczę szlifierki w czasie hamowania. 

KĄT ZAKREŚLONY W RUCHU JEDNOSTAJNIE OPÓŹNIONYM PO OKRĘGU Poprzez analogie do ruchu postępowego kąt zakreślony w czasie ruchu jednostajnie opóźnionego po okręgu możemy przedstawić wzorem: $\alpha ={\omega }_{0}t-\frac{1}{2}\epsilon t^2$ gdzie: $\alpha$ - wartość kąta zakreślonego w czasie ruchu po okręgu,  ${\omega }_0$ - początkowa szybkość kątowa szlifierki,  $t$ - czas ruchu,  $\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego.

Początkowa szybkość kątowa szlifierki odpowiada szybkości, jaką ma ona w chwili wyłączenia. Znamy liczbę obrotów, jaką wykonuje wówczas szlifierka w danym czasie.

CZĘSTOTLIWOŚĆ Częstotliwość dowolnego cyklu możemy przedstawić jako iloraz liczby powtarzających się w nim zdarzeń do całkowitego czasu trwania tych zdarzeń: $f=\frac{n}{t_0}$ gdzie: $f$ - częstotliwość,  $n$ - liczba cykli,  $t_0$ - czas trwania tych cykli.

Znając częstotliwość możemy określić szybkość kątową. 

SZYBKOŚĆ KĄTOWA, A CZĘSTOTLIWOŚĆ Wartość prędkości kątowej ciała w ruchu po okręgu możemy przedstawić za pomocą wzoru: $\omega =2\pi f$ gdzie: $\omega$ - szybkość kątowa ciała,  $\pi$ - liczba pi,  $f$ - częstotliwość w ruchu po okręgu.

Stąd wynika, że:

${\omega }_0=2\pi f$

${\omega }_0=2\pi \cdot \frac{n}{t_0}$

Nie znamy wartości przyspieszenia kątowego, ale z treści zadania wiemy jaki jest moment siły tarcia. To siła tarcia powoduje wyhamowanie tarczy. Korzystając z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego możemy zapisać, że:

$M=I\epsilon$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły, 

$I$ - moment bezwładności tarczy. 

Z treści zadania wiemy, że moment bezwładności tarczy ma postać:

$I=\frac{1}{2}m{R}^2$

gdzie:

$m$ - masa tarczy, 

$R$ - promień tarczy.

Zatem wartość przyspieszenia kątowego ma postać:

$I\epsilon =M$

$\frac{1}{2}m{R}^2\cdot \epsilon =M|\cdot 2$

$m{R}^2\epsilon =2M|:m{R}^2$

$\epsilon =\frac{2M}{m{R}^2}$

Nie znamy czasu hamowania szlifierki kątowej, ale możemy skorzystać z definicji wartości przyspieszenia kątowego. 

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO Poprzez analogie do ruchu postępowego wartość przyspieszenia kątowego zgodnie z definicją przyspieszenia możemy przedstawić zależnością: $\epsilon =\frac{\Delta \omega }{\Delta t}$ gdzie: $\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego, $\Delta \omega$ - zmiana szybkości kątowej ciała,  $\Delta t$ - czas, w jakim ta zmiana następuje.

Ponieważ na końcu tarcza wyhamowała to zmiana szybkości kątowej odpowiada początkowej szybkości tarczy, a zmiana czasu odpowiada czasowi hamowania tarczy:

Zatem:

$\epsilon =\frac{{\omega }_0}{t}|\cdot t$

$\epsilon t={\omega }_0|:\epsilon$

$t=\frac{{\omega }_0}{\epsilon }$

Oznacza to, że kąt zakreślony przez tarczę szlifierki ma postać:

$\alpha ={\omega }_{0}t-\frac{1}{2}\epsilon t^2$

$\alpha ={\omega }_0\cdot \frac{{\omega }_0}{\epsilon }-\frac{1}{2}\epsilon \cdot {\left(\frac{{\omega }_0}{\epsilon }\right)}^2$

$\alpha =\frac{{\omega }_0^2}{\epsilon }-\frac{1}{2}\cancel{\epsilon }\cdot \frac{{\omega }_0^2}{{\epsilon }^{\cancel{2}}}$

$\alpha =\frac{{\omega }_0^2}{\epsilon }-\frac{1}{2}\cdot \frac{{\omega }_0^2}{\epsilon }$

$\alpha =\frac{2{\omega }_0^2}{2\epsilon }-\frac{{\omega }_0^2}{2\epsilon }$

$\alpha =\frac{{\omega }_0^2}{2\epsilon }$

$\alpha =\frac{{\left(2\pi \cdot \frac{n}{t_0}\right)}^2}{2\cdot \frac{2M}{m{R}^2}}$

$\alpha =\frac{\cancel{4}{\pi }^2\cdot \frac{n^2}{t_0^2}}{\frac{\cancel{4}M}{m{R}^2}}$

$\alpha =\frac{\frac{{\pi }^2{n}^2}{t_0^2}}{\frac{M}{m{R}^2}}$

$\alpha =\frac{{\pi }^2{n}^2}{t_0^2}\cdot \frac{m{R}^2}{M}$

Zauważmy jeszcze, że w treści zadania podaną średnicę . Wiemy również, że średnica jest dwukrotnością długości promienia. W takim wypadku mamy:

$R=\frac{1}{2}d$

gdzie:

$d$ - długość średnicy tarczy.  

Zatem:

$\alpha =\frac{{\pi }^2{n}^2}{t_0^2}\cdot \frac{m\cdot {\left(\frac{1}{2}d\right)}^2}{M}$

$\alpha =\frac{{\pi }^2{n}^2}{t_0^2}\cdot \frac{m\cdot \frac{1}{4}{d}^2}{M}$

$\alpha =\frac{{\pi }^2{n}^{2}m{d}^2}{4t_0^{2}M}$

Zatem liczba obrotów wykonana przez hamującą płytę ma postać:

$N=\frac{\alpha }{2\pi }$

$N=\frac{\frac{{\pi }^2{n}^{2}m{d}^2}{4t_0^{2}M}}{2\pi }$

$N=\frac{{\pi }^{\cancel{2}}{n}^{2}m{d}^2}{4t_0^{2}M}\cdot \frac{1}{2\cancel{\pi }}$

$N=\frac{\pi n^{2}m{d}^2}{8t_0^{2}M}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$N=\frac{3,14\cdot {\left(11000\right)}^2\cdot 0,2\text{kg}\cdot {\left(0,125\text{m}\right)}^2}{8\cdot {\left(60\text{s}\right)}^2\cdot 8,83\text{N}\cdot \text{m}}=$

$=\frac{3,14\cdot 121000000\cdot 0,2\text{kg}\cdot 0,015625{\text{m}}^{\cancel{2}}}{8\cdot 3600{\text{s}}^2\cdot 8,83\text{N}\cdot \cancel{\text{m}}}=$

$=\frac{1187312,5\text{kg}\cdot \text{m}}{254304{\text{s}}^2\cdot \text{N}}=\frac{1187312,5\text{kg}\cdot \text{m}}{254304\cancel{{\text{s}}^2}\cdot \text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\cancel{{\text{s}}^2}}}=$

$=\frac{1187312,5\cancel{\text{kg}\cdot \text{m}}}{254304\cancel{\text{kg}\cdot \text{m}}}\approx 4,66887\approx 4,7$

Odpowiedź: Tarcza do zatrzymania wykonała około $4,7$ obrotów.